Question

Alguem sabe essa?

Sejam V(t) a função da velocidade s(t), a função posição e a(t) função aceleração, dadas com relação ao tempo t em segundos. Um meteorito entrou na atmosfera do planeta terra com a velocidade inicial de 300km/h, isto é, v(0) = s'(0) = 300 , com aceleração que obedece à função a(t) = s''(t) = 100t. Sabe - se que, 1 segundo após sua entrada na atmosfera, o meteorito já havia percorrido 5 km.

Para este problema, a fim de simplificação, desconsidere o atrito provocado pelo ar da atmosfera sobre o meteorito, o que reduziria sua velocidade.
Sobre a entrada do meteorito na atmosfera, é verdade que após 2 segundos ele percorreu.

a) Entre 100 e 200 quilômetros.
b) Entre 200 e 300 quilômetros.
c) Entre 300 e 400 quilômetros.
d) Entre 400 e 500 quilômetros.
e) Entre 500 e 600 quilômetros​

Answer 1

• O que é integral?

A integração é uma das vertentes do cálculo diferencial e integral, criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano. No entanto ela surge naturalmente em dezenas de problemas da física.

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a , b], a integral definida desta função é denotada por:

$S=\int\limits^a_b {f(x)}~dx$

• Resolvendo o problema

Como o tempo está em segundos, precisamos converter a velocidade de km/h para m/s

$v(0)=300~km/h\\\\v(0)=\dfrac{300}{3,6}~m/s\\\\v(0)=83,33...~m/s=\dfrac{250}{3}~m/s$

A partir do enunciado, temos

$v(t)=\int {a(t)}~dt\\\\v(t)=\int {s''(t)}~dt\\\\v(t)=\int {100~.~t}~dt\\ \\v(t)=100~.~\int {t}~dt\\ \\v(t)=100~.~\left[\dfrac{t^2}{2} + c \right]\\\\v(t)=50~.~t^2+100~.~c\\\\v(t)=50~.~t^2+c_1\\\\\\v(0)=\dfrac{250}{3}\\\\50~.~0^2+c_1=\dfrac{250}{3}\\\\50~.~0+c_1=\dfrac{250}{3}\\\\0+c_1=\dfrac{250}{3}\\\\c_1=\dfrac{250}{3}$

Logo,

$v(t)=50~.~t^2+\dfrac{250}{3}$

Continuando,

$s(t)=\int {v(t)}~dt\\\\s(t)=\int {(50~.~t^2+\dfrac{250}{3})}~dt\\\\s(t)=\int {(50~.~t^2)}~dt+\int {\dfrac{250}{3}}~dt\\\\s(t)=50~.~\int {t^2}~dt+\dfrac{250}{3}~.~t+c_1\\\\s(t)=50~.~\left[\dfrac{t^3}{3}+c_2 \right]+\dfrac{250}{3}~.~t+c_1\\\\s(t)=\dfrac{50}{3}~.~t^3+50~.~c_2+\dfrac{250}{3}~.~t+c_1\\\\s(t)=\dfrac{50}{3}~.~t^3+\dfrac{250}{3}~.~t+c_1+50~.~c_2\\\\s(t)=\dfrac{50}{3}~.~t^3+\dfrac{250}{3}~.~t+c_3$

No instante $t=1$ o meteorito havia percorrido $5~km=5.000~m$. Logo,

$s(1)=\dfrac{50}{3}~.~1^3+\dfrac{250}{3}~.~1+c_3\\\\5.000=\dfrac{50}{3}+\dfrac{250}{3}+c_3\\\\5.000=\dfrac{300}{3}+c_3\\\\5.000=100+c_3\\\\c_3=5.000-100\\\\c_3=4.900$

e, portanto,

$s(t)=\dfrac{50}{3}~.~t^3+\dfrac{250}{3}~.~t+4.900$

Após 2 segundos, o meteorito terá percorrido

$s(2)=\dfrac{50}{3}~.~2^3+\dfrac{250}{3}~.~2+4.900\\\\s(2)=\dfrac{50}{3}~.~8+\dfrac{250}{3}~.~2+4.900\\\\s(2)=\dfrac{400}{3}+\dfrac{500}{3}+4.900\\\\s(2)=\dfrac{900}{3}+4.900\\\\s(2)=300+4.900\\\\\boxed{s(2)=5.200~m=5,2~km}$

• Conclusão

A resposta encontrada passa bem longe de qualquer uma das opções fornecidas.

Logo, ou há um erro no enunciado ou há um erro nas opções.

Além disso, a atmosfera da Terra não chega nem a 100 km.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/3407297