Question

Alguém sabe essa questão 5?

Answer 1

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⠀⠀☞ Através do Teorema do Valor Intermediário encontramos a raiz x ∈ [70,346; 70,347]. ✅  

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⠀⠀ Rearranjando nossa equação temos:  

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \overbrace{\sf x^{\tiny 2}}^{f(x)} \cdot \overbrace{e^{\tiny \frac{x}{100}}}^{g(x)} = \overbrace{10.000}^{h(x)} }}$  

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⠀⠀ Analisando o comportamento de f(x) e g(x) temos que para todo x > 0 ambas f(x) e g(x) serão contínuas, crescentes e ∈ [0, +∞[, ou seja, f(x) × g(x) também será contínua, crescente e ∈ [0, +∞[ para x > 0, demonstrando que pelo menos um valor de x > 0 fará com que o produto f(x) × g(x) resulte em h(x):  

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\bezier(0,1.5)(2.5,1.5)(5,1.5)\bezier(0,0.01)(2,0.1)(2.5,5)\put(1.71,1.49){\circle*{0.13}}\put(2.8,4.5){\Large \sf f(x) \cdot g(x) }\put(2.5,1.7){\Large \sf h(x) }\end{picture}$  

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$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )  

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⠀⠀Desta forma, podemos utilizar a ferramenta gráfica do Teorema do Valor Intermediário que diz:  

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• Sendo f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e N um valor qualquer tal que f(a) < N < f(b) e f(a) ≠ f(b) então existe um valor c tal que f(c) = N.  

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$\blue{\large\sf~x = 100~\begin{cases}\sf 100^2 \cdot 2,718^{1}\\\\ \sf = 10.000 \cdot 2,718\\\\ \sf = 27.180 > 10.000\end{cases}}$  

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$\blue{\large\sf~x = 50~\begin{cases}\sf 50^2 \cdot 2,718^{0,5}\\\\ \sf = 2.500 \cdot 1,649\\\\ \sf = 4.121 < 10.000\end{cases}}$  

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⠀⠀x ∈ [50, 100]. Vamos continuar nossa "caçada":  

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$\blue{\large\sf~x = 80~\begin{cases}\sf 80^2 \cdot 2,718^{0,8}\\\\ \sf = 6.400 \cdot 2,225\\\\ \sf = 14.240 > 10.000\end{cases}}$  

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$\blue{\large\sf~x = 70~\begin{cases}\sf 70^2 \cdot 2,718^{0,7}\\\\ \sf = 4.900 \cdot 2,014\\\\ \sf = 9.868,6 < 10.000\end{cases}}$  

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⠀⠀x ∈ [70, 80]. Observe que x = 70 está bem próximo de 10.000.  

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$\blue{\large\sf~x = 71~\begin{cases}\sf 71^2 \cdot 2,718^{0,71}\\\\ \sf = 5.041 \cdot 2,034\\\\ \sf = 10.253 > 10.000\end{cases}}$  

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⠀⠀x ∈ [70, 71]. 10.000 parece estar próximo do meio deste intervalo: vamos aumentar a precisão de e para encontrarmos um valor de x com mais casas decimais:  

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$\blue{\large\sf~x = 70,5~\begin{cases}\sf 70,5^2 \cdot 2,7183^{0,705}\\\\ \sf = 4.970,25 \cdot 2,0237\\\\ \sf = 10.058,3 > 10.000\end{cases}}$  

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$\blue{\large\sf~x = 70,4~\begin{cases}\sf 70,4^2 \cdot 2,7183^{0,704}\\\\ \sf = 4.956,16 \cdot 2,0217\\\\ \sf = 10.019,9 > 10.000\end{cases}}$  

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$\blue{\large\sf~x = 70,3~\begin{cases}\sf 70,3^2 \cdot 2,7183^{0,703}\\\\ \sf = 4.942,09 \cdot 2,0197\\\\ \sf = 9.981,5 < 10.000\end{cases}}$  

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⠀⠀x ∈ [70.3, 70.4]. Observe que 10.000 parece estar exatamente no meio deste intervalo. Vamos aumentar a precisão de e:  

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$\blue{\large\sf~x = 70,35~\begin{cases}\sf 70,35^2 \cdot 2,71828^{0,7035}\\\\ \sf = 4.949,1225 \cdot 2,0207\\\\ \sf = 10.000,7 > 10.000\end{cases}}$  

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$\blue{\large\sf~x = 70,34~\begin{cases}\sf 70,34^2 \cdot 2,71828^{0,7034}\\\\ \sf = 4.947,7156 \cdot 2,0206\\\\ \sf = 9.997,35 < 10.000\end{cases}}$  

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⠀⠀x ∈ [70.34, 70.35]. Observe que x = 70,35 está bem próximo de 10.000. Vamos aumentar a precisão de e:  

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$\blue{\large\sf~x = 70,349~\begin{cases}\sf 70,349^2 \cdot 2,71828^{0,70349}\\\\ \sf = 4.948,981801 \cdot 2,02079\\\\ \sf = 10.000,8 > 10.000\end{cases}}$  

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$\blue{\large\sf~x = 70,348~\begin{cases}\sf 70,348^2 \cdot 2,71828^{0,70348}\\\\ \sf = 4.948,841104 \cdot 2,02077\\\\ \sf = 10.000,47 > 10.000\end{cases}}$  

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$\blue{\large\sf~x = 70,347~\begin{cases}\sf 70,347^2 \cdot 2,71828^{0,70347}\\\\ \sf = 4.948,700409 \cdot 2,02075\\\\ \sf = 10.000,08 > 10.000\end{cases}}$  

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⠀⠀Pela taxa da variação milesimal concluímos que x ∈ [70,346, 70,347],  um intervalo com três casas decimais de aproximação.  

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$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{\in}~\blue{ \{70,346; 70,347\} }~~~}}$ ✅  

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⠀⠀☀️ Leia mais sobre o Teorema do Valor Intermediário:  

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Absque sudore et labore nullum opus perfectum est.