Question

alguém sabe, e pode me ajudar​

Answer 1

Existem diversas formas de encontrar a inversa, eu vou resolver por escalonamento:

$\left[\begin{array}{ccc|ccc}2&1&3&1&0&0\\4&2&2&0&1&0\\2&5&3&0&0&1\end{array}\right]$

O objetivo é transportar a matriz identidade na direita para o lado esquerdo.

Primeiro uso as seguintes atualizações:

$L_2 = 2 \cdot L_1 - L_2$

$L_3 = L_1 - L_3$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc}2&1&3&1&0&0\\0&0&4&2&-1&0\\0&-4&0&1&0&-1\end{array}\right]$

Ok, agora faço as seguintes atualizações:

$L_1 = -\dfrac{1}{4} \cdot L_3 - L_1$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc}-2&0&-3&-\frac{5}{4}&0&\frac{1}{4}\\0&0&4&2&-1&0\\0&-4&0&1&0&-1\end{array}\right]$

Agora:

$L_1 = - \dfrac{3}{4} \cdot L_2 - L_1$

$\left[\begin{array}{ccc|ccc}2&0&0&-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\0&0&4&2&-1&0\\0&-4&0&1&0&-1\end{array}\right]$

Tá, agora eu vou dividir a primeira linha por 2, a segunda por 4 e a terceira por -4:

$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\0&0&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}&0\\0&1&0&-\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4}\end{array}\right]$

Ok, não terminou ainda. Vou inverter a posição das linhas 2 e 3:

$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\0&1&0&-\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4}\\0&0&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}&0\end{array}\right]$

Agora, a matriz do lado direito é a inversa de A:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{4}&0\end{array}\right]$

Ou seja, o termo $a_{22}$ (termo central) vale 0.

Alternativa A)

Só que esse método nesse caso é o mais demorado. Você pode utilizar o método dos cofatores (matriz adjunta) para obter o resultado bem mais rapidamente.

Nesse caso, o termo $a_{22}$ da inversa pode ser calculado por:

$\dfrac{adj_{22}}{|A|} = \dfrac{(-1)^{2+2} \cdot |A_{22}|}{|A|}$

Onde |A| é o determinante de A e $|A_{22}|$ é o determinante da matriz de cofatores, obtida removendo-se a linha 2 e a coluna 2 da matriz A:

$A_{22} = \left[\begin{array}{cc}2&3\\2&3\end{array}\right]$

O determinante dessa matriz é:

$|A_{22}| = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 6 - 6 = 0$

Assim:

$\dfrac{adj_{22}}{|A|} = \dfrac{(-1)^4 \cdot 0}{|A|} = 0$