Alguém sabe a resposta??
Encontre todas as soluções da equação diofantina: 8x + 7y = 9.
Soluções para a tarefa
Respondido por
1
Olá
Temos a forma geral da equação Diofantina.
Ax+By=C
Para ter uma uma possível solução deve cumprir o m.c.d (a,b)=1
Temos a fórmula que.
x=x₀+An
Onde A,B,C e n deve ∈ /Z
y=y₀-Bn
Onde --->n={.......-2,-1,0,1,2........} ∈ /Z
..........................................................................................
Com essas condições resolvemos.
8x+7y=9 ------->m.c.d( 8,7)= 1 tem solução
Podemos resolver a expressão, buscando o múltiplo do menor valor da equação, neste casso o menor valor é (7), então vamos dividir os outros valores por (7) veja.
8 | 7
7 1 =>(7°.1+1) --->7°-->significa múltiplo de 7
1
9 | 7
7 1 =>(7°.1+2)
2
..................................................................................
Agora vamos substituir na expressão assím
8x+7y=9
(7°.1+1)x+7°y=(7°.1+2)
(7°+1)x+7°y=7°+2
Sabe-se que todo numero multiplo de 7 (7°) sempre será o múltiplo de 7°
exemplo.
[ 7°y=7° , 8°m=8°, 10°.100=10°, (5°-5°+5°)=5° , assim por adiante]
Então com essa condição fazemos.
(7°+1)x+7°y=7°+2 ---> multiplicamos por distributiva (x)
7°x+1.x+7°y=7°+2
7°+x+7°=7°+2
x=7°-7°-7°+2
x= 7°+2 -----> x₀=2
x₀=2 -----> temos o valor de (x₀)
Agora vamos substituir o valor de (x₀) no valor de (x) pra obter o valor de (y₀)
assim.
8x+7y=9
8.2+7y=9
16+7y=9
7y=9-16
7y=-7
y₀=-1------> temos o valor de (y₀)
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Agora vamos substituir o valor de [ x₀ e y₀] na expressão,pra obter o valor de [x e y ] veja.
x=x₀+An ---->sendo [ x₀=2 e A=8 ] , substituindo temos.
x=2+8n
y=y₀-Bn----> sendo [ y₀=-1 e B =7 ], substituindo temos.
y=-1-7n
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Entao ja temos.
x=2+8n
===> sendo os valores aleatorios de n={..-2,-1,0,1,2...}
y=-1-7n
Vamos substituir os valores de (n) pra (x) e (y), assim.
quando ---->n=-1
x=2+8(-1) y=-1-7(-1)
x=-6 y=6
Sim substituirmos estos valores em 8x+7y=9, verificamos se satisfaz , vemos.
8(-6)+7(6)=9
-48+42 ≠ 9-----> nao safistaz a equação descartamos o valor para (n=-1)
........................................................................................
agora vamos provar.
quando ---->n=0
x=2+8(0) y=-1-7(0)
x=2 y=-1
Substituindo na equação. 8x+7y=9 ---> os valores de (x) e (y) temos.
8(2)+7(-1)=9
16-7=9
9=9 -----> cumple, e satisfaz a equação.
.................................................................................
Agora vamos provar.
quando ---->n=1
x=2+8(1) y=-1-7(1)
x=10 y=-8
provando os vaores de (y) e (x) na equação temos.
8x+7y=9
8(10)+7(-8)=9
80-56≠9----> nao satisfaz a equação.
E assim vc vai dando valores a (n) e substituindo mesmo procedimento e terá infinitas valores ,sempre que prove e satisfaz a equação, Observação isso é só quando é uma equação diofantina só a equação, pode ter valores positivos e negativos (x) e (y), mas se for um problema o valor de (x) e (y) não podem ter o valor negativo
Então as soluções da equação diofantica é.
x=2
y=-1
C.S{x=2 e y=-1 }
=======================================
Espero ter ajudado!!
Temos a forma geral da equação Diofantina.
Ax+By=C
Para ter uma uma possível solução deve cumprir o m.c.d (a,b)=1
Temos a fórmula que.
x=x₀+An
Onde A,B,C e n deve ∈ /Z
y=y₀-Bn
Onde --->n={.......-2,-1,0,1,2........} ∈ /Z
..........................................................................................
Com essas condições resolvemos.
8x+7y=9 ------->m.c.d( 8,7)= 1 tem solução
Podemos resolver a expressão, buscando o múltiplo do menor valor da equação, neste casso o menor valor é (7), então vamos dividir os outros valores por (7) veja.
8 | 7
7 1 =>(7°.1+1) --->7°-->significa múltiplo de 7
1
9 | 7
7 1 =>(7°.1+2)
2
..................................................................................
Agora vamos substituir na expressão assím
8x+7y=9
(7°.1+1)x+7°y=(7°.1+2)
(7°+1)x+7°y=7°+2
Sabe-se que todo numero multiplo de 7 (7°) sempre será o múltiplo de 7°
exemplo.
[ 7°y=7° , 8°m=8°, 10°.100=10°, (5°-5°+5°)=5° , assim por adiante]
Então com essa condição fazemos.
(7°+1)x+7°y=7°+2 ---> multiplicamos por distributiva (x)
7°x+1.x+7°y=7°+2
7°+x+7°=7°+2
x=7°-7°-7°+2
x= 7°+2 -----> x₀=2
x₀=2 -----> temos o valor de (x₀)
Agora vamos substituir o valor de (x₀) no valor de (x) pra obter o valor de (y₀)
assim.
8x+7y=9
8.2+7y=9
16+7y=9
7y=9-16
7y=-7
y₀=-1------> temos o valor de (y₀)
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Agora vamos substituir o valor de [ x₀ e y₀] na expressão,pra obter o valor de [x e y ] veja.
x=x₀+An ---->sendo [ x₀=2 e A=8 ] , substituindo temos.
x=2+8n
y=y₀-Bn----> sendo [ y₀=-1 e B =7 ], substituindo temos.
y=-1-7n
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Entao ja temos.
x=2+8n
===> sendo os valores aleatorios de n={..-2,-1,0,1,2...}
y=-1-7n
Vamos substituir os valores de (n) pra (x) e (y), assim.
quando ---->n=-1
x=2+8(-1) y=-1-7(-1)
x=-6 y=6
Sim substituirmos estos valores em 8x+7y=9, verificamos se satisfaz , vemos.
8(-6)+7(6)=9
-48+42 ≠ 9-----> nao safistaz a equação descartamos o valor para (n=-1)
........................................................................................
agora vamos provar.
quando ---->n=0
x=2+8(0) y=-1-7(0)
x=2 y=-1
Substituindo na equação. 8x+7y=9 ---> os valores de (x) e (y) temos.
8(2)+7(-1)=9
16-7=9
9=9 -----> cumple, e satisfaz a equação.
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Agora vamos provar.
quando ---->n=1
x=2+8(1) y=-1-7(1)
x=10 y=-8
provando os vaores de (y) e (x) na equação temos.
8x+7y=9
8(10)+7(-8)=9
80-56≠9----> nao satisfaz a equação.
E assim vc vai dando valores a (n) e substituindo mesmo procedimento e terá infinitas valores ,sempre que prove e satisfaz a equação, Observação isso é só quando é uma equação diofantina só a equação, pode ter valores positivos e negativos (x) e (y), mas se for um problema o valor de (x) e (y) não podem ter o valor negativo
Então as soluções da equação diofantica é.
x=2
y=-1
C.S{x=2 e y=-1 }
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Espero ter ajudado!!
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