Question

Alguém sabe a resolução dessa questão?
(UE CE) Se f(x) =√3.x²+1, x E R, então
(√3-1)[f(√3)-f(√2)+1 é igual a: (no gabarito diz que é = 2)

Answer 1

Resolvendo a expressão proposta, (√3 – 1) ⋅ [f(√3) – f(√2) + 1], temos que seu valor é igual a 2.

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A questão nos dá a função f(x) = √3 ⋅ x² + 1, e com ela desejamos calcular o valor da expressão:

                         $\\\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}(\sqrt{3\,}-1)\cdot[f(\sqrt{3\,}\,)-f(\sqrt{2\,}\,)+1]\end{array}}$

Vou dar um exemplo pra você entender a resolução. Digamos que f(x) = x, então qual o valor da imagem de k, isto é, qual o valor de f(k)? É só fazermos x = k, então teríamos que f(k) = k. É a mesma coisa para com f(√3) e f(√2), basta fazermos x = √3 e x = √2 na função f. Assim, acompanhe:

$\\\!\!\!\large\begin{array}{l}\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot[f(\sqrt{3\,})-f(\sqrt{2\,})+1]\\\\\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot\big[\big(\sqrt{3\,}\cdot(\sqrt{\,3}\,)^2-1\big)-\big(\sqrt{3\,}\cdot(\sqrt{\,2}\,)^2-1\big)+1\big]\\\\\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot\big[\big(\sqrt{3\,}\cdot3-1\big)-\big(\sqrt{3\,}\cdot2-1\big)+1\big]\\\\\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot\big[3\sqrt{3\,}-1-2\sqrt{3\,}+1+1\big]\\\\\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot\big(\sqrt{3\,}+1\big)\end{array}$

Veja que obtemos um produto notável, o produto da soma pela diferença de dois termos, cujo é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo, (m + n) ⋅ (m – n) = m² – n². Assim:

$\\\!\!\!\large\begin{array}{l}\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot[f(\sqrt{3\,})-f(\sqrt{2\,})+1]=\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot\big(\sqrt{3\,}+1\big)\\\\\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot[f(\sqrt{3\,})-f(\sqrt{2\,})+1]=\big(\sqrt{3\,}\,\big)^2-(1)^2\\\\\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot[f(\sqrt{3\,})-f(\sqrt{2\,})+1]=3-1\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\big(\sqrt{3\,}-1\big)\cdot[f(\sqrt{3\,})-f(\sqrt{2\,})+1\big]=2}}\end{array}$

Portanto, o valor da expressão (√3 – 1) ⋅ [f(√3) – f(√2) + 1] = 2, confirmando o gabarito.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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