Question

Alguém resolve? Por favor!

Answer 1

Olhemos especialmente para o denominador do membro esquerdo por agora:

$(n+1)! - n! = (n+1)(n)! - n!$

Pondo n! em evidência vem:

$(n+1)(n)! - n! = n!\cdot[(n+1)-1] = n!(n)=n(n-1)!(n)=\boxed{n^2(n-1)!}$

Assim, voltando à questão, temos:

$\cfrac{(n-1)!}{(n+1)!-n!} = \cfrac{1}{81} \Longrightarrow \cfrac{(n-1)!}{n^2(n-1)!} = \cfrac{1}{81}\Longrightarrow \cfrac{1}{n^2} = \cfrac{1}{81} \Longrightarrow n^2=81 \\ \\ n = \pm 9$

Como n é um fatorial, n tem que ser natural, logo -9 não é apropriado, portanto:

$\boxed{n = 9}$