Question

Alguém que manje de devirada saberia me explicar passo a passo da derivada de
y = ln(2x)/2

Answer 1

Resposta:

Vide abaixo.

Explicação passo-a-passo:

Bem, sabendo que y= ln(u), então y'= (1/u).u'= u'/u

Sendo y = ln(2x)/2, e fazendo u= 2x, então u'=2.

Substituindo u e u' na fórmula anterior, temos:

y = ln(2x)/2

y= ln(u)/2

y= (1/2).ln(u)

logo:

y'= (1/2).u'/u

y'= (1/2).2/(2x)

y'= 1/(2x)

Agora, se não conhece a fórmula da derivada de y= ln(u) como mostrado acima, teríamos que obter a derivada de y = ln(2x)/2 através da definição de limite para cálculo da derivada, conforme visto em Cálculo:

y'= f'(x)= lim [ f(x + h) - f(x) ] / h

h->0

Logo, sendo y=ln(2x)/2, temos que y'= f'(x) é dado por:

lim [ ln(2(x+h))/2 - ln(2x)/2 ] / h

h->0

lim (1/2). [ ln(2(x+h)) - ln(2x) ] / h

h->0

(1/2). lim [ ln(2x+ 2h) - ln(2x) ] / h

h->0

ln a - ln b = ln a/b, logo:

(1/2). lim [ ln(2x+ 2h)/(2x) ] / h

h->0

(1/2). lim [ ln((2x)/(2x) + (2h)/(2x)) ] / h

h->0

(1/2). lim [ ln(1 + h/x) ] / h

h->0

(1/2). lim (1/h). ln(1 + h/x)

h->0

Fazendo x/h= u, temos que:

. h/x= 1/u => h= x/u => 1/h = u/x = u.(1/x)

. Se u= x/h, então se h->0, u->inf.

Logo:

(1/2). lim u.(1/x). ln(1 + 1/u)

u->inf.

Como o limite tá agora em função da variável u, então 1/x pode sair do limite:

(1/2). (1/x) lim u. ln(1 + 1/u)

u->inf.

1/(2x) . lim u. ln(1 + 1/u)

u->inf.

a. ln b = ln b^a, logo:

1/(2x) . lim ln(1 + 1/u)^u

u->inf.

1/(2x) . ln { lim (1 + 1/u)^u }

u->inf.

Temos que lim (1 + 1/u)^u = e, logo:

u->inf.

1/(2x) . ln { e }

1/(2x) . 1

1/(2x) c.q.d.

Blz?

Abs :)