Question

Alguém pra da um help ai?, não compreendi como difereciar o maior e o menor do tangente ainda.

Answer 1

Para este tipo de questão, devemos analisar como a tangente de um arco $\alpha$ se comporta quando $\alpha$ varia de $0$ a $2\pi$, fazendo uma volta completa no ciclo trigonométrico. (Caso o arco esteja fora do intervalo de $0$ a $2\pi$, basta encontrar um outro arco côngruo a ele que esteja neste intervalo):

$\bullet\;\;$ Analisar o sinal da tangente:

$\text{(i)}\;\;$ Se

$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ (1º quadrante) ou

$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$ (3º quadrante)

então a tangente é positiva:

$\mathrm{tg\,}\alpha>0$

$\text{(ii)}\;\;$ Se

$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ (2º quadrante) ou

$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$ (4º quadrante)

então a tangente é negativa:

$\mathrm{tg\,}\alpha<0$


$\bullet\;\;$ Analisar os intervalos onde a tangente é crescente ou decrescente:

Sejam $\alpha$ e $\beta$ dois arcos pertencentes ao intervalo $\left[0,\,2\pi \right )$. Então,

- A tangente é crescente no 1º, 2º, 3º ou 4º quadrantes, ou seja, sempre que $\alpha$ e $\beta$ forem arcos do mesmo quadrante, e $\alpha>\beta$, então

$\mathrm{tg\,}\alpha>\mathrm{tg\,}\beta$

Caso contrário, se $\alpha$ e $\beta$ forem arcos do mesmo quadrante, e $\alpha<\beta$, então

$\mathrm{tg\,}\alpha<\mathrm{tg\,}\beta$


a) $\mathrm{tg\,}100^{\circ}<\mathrm{tg\,}105^{\circ}$

Os arcos de $100^{\circ}$ e $105^{\circ}$ pertencem ao mesmo quadrante (2º quadrante). Sendo assim,

$100^{\circ}<105^{\circ}\;\;\Leftrightarrow\;\;\mathrm{tg\,}100^{\circ}<\mathrm{tg\,}105^{\circ}$

(VERDADEIRO)


b) $\mathrm{tg\,}20^{\circ}>\mathrm{tg\,}25^{\circ}$

Os arcos de $20^{\circ}$ e $25^{\circ}$ pertencem ao mesmo quadrante (1º quadrante). Sendo assim,

$20^{\circ}<25^{\circ}\;\;\Leftrightarrow\;\;\mathrm{tg\,}20^{\circ}<\mathrm{tg\,}25^{\circ}$


Logo, a sentença do enunciado desta questão é FALSA.


c) A tangente pode assumir o valor $3$ se o arco for ou do 1º quadrante ou do 3º quadrante, pois apenas nestes dois quadrantes o valor da tangente é positiva. Então, a afirmação é VERDADEIRA.


d) $\mathrm{tg\,}80^{\circ}<\mathrm{sen\,}80^{\circ}$

O arco de $80^{\circ}$ é do 1º quadrante. Então o seno e o cosseno são ambos positivos:

$0<\mathrm{sen\,}80^{\circ}<1\\ \\ 0<\cos 80^{\circ}<1$


Partindo da nossa sentença, temos

$\mathrm{tg\,}80^{\circ}<\mathrm{sen\,}80^{\circ}\\ \\ \dfrac{\mathrm{sen\,}80^{\circ}}{\cos 80^{\circ}}<\mathrm{sen\,}80^{\circ}\\ \\ 1\cdot \mathrm{sen\,}80^{\circ}<\cos 80^{\circ}\cdot\mathrm{sen\,}80^{\circ}\\ \\ 1<\cos 80^{\circ}$

Observamos que a última sentença é FALSA.


e) $\mathrm{tg\,}250^{\circ}>0$

Temos que $180^{\circ}<250^{\circ}<270^{\circ}$. Logo o arco de $250^{\circ}$ é do 3º quadrante e sua tangente é positiva:

$\mathrm{tg\,}250^{\circ}>0$

VERDADEIRO


f) Pela definição de tangente temos que

$\mathrm{tg\,}\alpha=\dfrac{\mathrm{sen\,}\alpha}{\cos\alpha}$

onde $\cos \alpha \neq 0$, ou seja,

onde $\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\cdot \pi,\;\;k \in \mathbb{Z}$


Então, a tangente não existe apenas para os arcos

$\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ e seus côngruos.

Portanto, existe $\mathrm{tg\,}2\pi$, que a propósito é

$\mathrm{tg\,}2\pi=\dfrac{\mathrm{sen\,}2\pi}{\cos2\pi}\\ \\ \mathrm{tg\,}2\pi=\dfrac{0}{1}\\ \\ \mathrm{tg\,}2\pi=0$

FALSO.