Question

Alguem pra da um help???

Answer 1

a) Encontrar em qual quadrante está o arco de $\dfrac{12\pi}{7}$:

$\dfrac{12\pi}{7}=\dfrac{24\pi}{14}\\ \\ \dfrac{12\pi}{7}=\dfrac{21\pi+3\pi}{14}\\ \\ \dfrac{12\pi}{7}=\dfrac{21\pi}{14}+\dfrac{3\pi}{14}\\ \\ \dfrac{12\pi}{7}=\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{14}$


Temos que

$0<\dfrac{3\pi}{14}<\dfrac{7\pi}{14}\;\;\Rightarrow\;\; 0<\dfrac{3\pi}{14}<\dfrac{\pi}{2}$


Somando $\dfrac{3\pi}{2}$ a todos os membros da dupla desigualdade acima, temos

$\dfrac{3\pi}{2}<\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{14}<\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\;\;\Rightarrow\;\; \boxed{\dfrac{3\pi}{2}<\dfrac{12\pi}{7}<2\pi}$


Assim, concluímos que o arco de $\dfrac{12\pi}{7}$ está no quarto quadrante. Logo, o cosseno deste arco é positivo:

$m=\cos \dfrac{12\pi}{7}\;\;\Rightarrow\;\;m>0$


b) As propriedades utilizadas para resolução desta questão:

$\begin{array}{rclc} \cos \left(-\alpha \right )&=&\cos \alpha&\;\;\;\;\text{(i)} \\ \\\cos \left(\alpha-\pi \right )&=&-\cos \alpha&\;\;\;\;\text{(ii)}\\ \\ \cos \left(\alpha+k \cdot 2\pi \right )&=&\cos \alpha&\;\;\;\;\text{(iii)} \end{array}$


onde $k \in \mathbb{Z}$ ($k$ só pode assumir valores inteiros)


Sendo assim, temos que

$\cos \dfrac{9\pi}{7}\\ \\ =\cos \left(\dfrac{21\pi-12\pi}{7} \right )\\ \\ =\cos \left(3\pi-\dfrac{12\pi}{7} \right )\\ \\ =\cos \left[-\left(3\pi-\dfrac{12\pi}{7} \right )\right]\\ \\ =\cos \left(\dfrac{12\pi}{7}-3\pi \right )\\ \\ =\cos \left(\dfrac{12\pi}{7}-\pi-2\pi \right )\\ \\ =\cos \left(\dfrac{12\pi}{7}-\pi \right )\\ \\ =-\cos \dfrac{12\pi}{7}\\ \\ =-m$