Question

Alguém pra ajuda pfv?
Apresente as expressões a seguir sem que a radical seja expresso no denominador
(Abram a imagem)

Answer 1

Resposta:

a) $6-3\sqrt{3}$

b) $2\sqrt{2} *(\sqrt{5} +2)$

c)  $\frac{3-\sqrt{3} }{2}$

d)  $3+2\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

Apresente as expressões a seguir sem que a radical seja expresso no denominador:

a)   $\frac{3}{2+\sqrt{3} }$

b) $\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{8} }$

c)  $\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3}+1 }$

d)  $\frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2} -1}$

Resolução:

Há vários maneiras diferentes de fazer a racionalização do denominador.

Nestes quatro exemplos vai - se multiplicar o numerador e o denominador por aquilo a que se chama "o conjugado do denominador".

"Exemplo de um conjugado de uma expressão algébrica:

" 2 - √3 " é o conjugado de " 2 +√3 "

Num conjugado de uma expressão com dois termos, o primeiro mantém-se e ao segundo troca-se o sinal.

O que acontece de mais interessante para aqui é que na racionalização do denominador, este se transforma num número inteiro.

(2 +√3) * ( 2 - √3 )

Este produto é o desenvolvimento de um produto notável:

a diferença de dois quadrados

(2 +√3) * ( 2 - √3 ) = 2² - (√3)²= 4 - 3 = 1

a)     $\frac{3}{2+\sqrt{3} }$

Multiplicar o numerador e denominador por 2 - √3

$\frac{3*( 2-\sqrt{3}) }{(2+\sqrt{3} )*( 2-\sqrt{3}) }$

No numerador uso a propriedade distributiva da multiplicação em relação à  adição algébrica ( inclui adições e subtrações)

No denominador uso o tal produto notável, a diferença de dois quadrados.

$\frac{3*( 2-\sqrt{3}) }{(2+\sqrt{3} )*( 2-\sqrt{3}) } = \frac{3*2-3*\sqrt{3} }{2^{2}-(\sqrt{3})^2 } =\frac{6-3\sqrt{3} }{4-3}$

$= 6-3\sqrt{3}$

b)   $\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{8} }$

$=\frac{4*(\sqrt{10} +\sqrt{8}) }{(\sqrt{10} -\sqrt{8} )*(\sqrt{10}+\sqrt{8} ) } =\frac{4*(\sqrt{10}+\sqrt{8} ) }{(\sqrt{10} )^{2} -(\sqrt{8})^2 }$

Observação → $\sqrt{8} =\sqrt{2^{3} } =\sqrt{2^{2}*2 } } =\sqrt{2^{2} } *\sqrt{2} =2*\sqrt{2}$

e     $\sqrt{10} =\sqrt{5*2} =\sqrt{5} *\sqrt{2}$

Continuando

$=\frac{4*(\sqrt{10}+\sqrt{8} ) }{10 -8 }=\frac{4*(\sqrt{10} +\sqrt{8}) }{2} =2*(\sqrt{2}*\sqrt{5}+2*\sqrt{2} )$

Colocando em evidência √2

$= 2\sqrt{2} *(\sqrt{5} +2)$

c)   $\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3}+1 }$

$=\frac{\sqrt{3}*(\sqrt{3} -1) }{(\sqrt{3} +1)*(\sqrt{3} -1)} =\frac{\sqrt{3}*\sqrt{3} -\sqrt{3} }{(\sqrt{3} )^{2}- 1^{2} }$

$= \frac{3-\sqrt{3} }{3-1}$

$=\frac{3-\sqrt{3} }{2}$

d)   $\frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2} -1}$

$=\frac{(\sqrt{2}+1)*(\sqrt{2} +1 ) }{(\sqrt{2} -1)*(\sqrt{2} +1)}$

$=\frac{(\sqrt{2}+1)^2 }{(\sqrt{2} ^{2} )-1^{2} } =\frac{(\sqrt{2}+1)^2 }{2-1} }=(\sqrt{2}+1)^2$

Temos outro Produto Notável → O quadrado de uma soma

Desenvolve-se da seguinte maneira:

" quadrado do 1º termo " + "dobro do produto do 1º termo pelo 2º termo" +

+ " quadrado do 2º termo "

$=(\sqrt{2} )^2+2*\sqrt{2} *1+1^{2}$

$=2+2\sqrt{2} +1$

$=3+2\sqrt{2}$

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação