Question

Alguém por favor me responde:
Qual a altura máxima atingida por um projétil cuja trajetória pode ser descrita pela função: h(x) = – x² + 4x + 5, sabendo que h é a altura do projétil e que x é a distância percorrida por ele, em metros? *
A) 9 metros
B) 10 metros
C) 11 metros
D) 22 metros
E) 25 metros

Answer 1

Aqui temos uma função quadrática, podemos obter a altura máxima pelo vértice (sabendo que a função tem a concavidade para baixo a < 0).

$\displaystyle V = (x,y) = \left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right) = \left(\frac{-4}{-2}, \frac{-[b^2-4ac]}{-4} \right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-[16+4\cdot 5]}{-4}\right) = (2, 9)$

Portanto, a curva y = – x² + 4x + 5 atinge seu ponto máximo em V = (2, 9). Logo, a altura máxima é 9 metros.

Já chegamos na resposta, mas como você está no ensino superior também há outra abordagem, utilizando o teste da derivada primeira.

Derivando a função temos

$h(x) = -x^2 + 4x + 5\\\\\displaystyle h'(x) = \frac{d}{dx} h(x) = -2x + 4$

Igualando a derivada a zero temos

$h'(x) = 0 \Leftrightarrow -2x+4 = 0\\\\-2x + 4 = 0\\-2x = -4\\x = 2$

Logo, x = 2 é o ponto de máximo ou mínimo, para saber exatamente se é máximo ou mínimo podemos analisar o crescimento e decrescimento do gráfico

$h'(x) > 0 \Leftrightarrow -2x+4 > 0 \Rightarrow x < 2\\\\h'(x) < 0 \Leftrightarrow -2x+4 < 0 \Rightarrow x > 2$

Portanto, sabendo que a função cresce para x < 2 e decresce para x > 2, temos que o ponto x = 2 é o valor máximo da função. Por fim, precisamos apenas calcular h(x=2) para saber a altura máxima atingida

$h(x=2) = h(2) = -2^2 + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 4 + 5 = 9$

Com isso, novamente, a altura é 9 metros.