Question

Alguém por favor me ajuda a responder essa questão?!!

Answer 1

$\large\boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf Resposta: \sf f(x) = - x {}^{2} .cosx \: \: \: e \: \: \: g(x) = 2cosx}}}$

Temos a seguinte integral indefinida:

$\sf \int x {}^{2} senx \:dx$

Para resolver essa integral, devemos usar o método da integração por partes, que por si só possui uma relação, dada por:

$\sf \int u.dv = u.v - \int v.du$

Se você observar, temos que escolher uma função para derivar e outra para integrar, para fazer essa escolha de maneira correta, devemos lembrar da escala de prioridade chamada LIATE → Funções Logarítmicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas e Exponenciais, quanto mais a função estiver a esquerda da escala, mais ela será candidata a ser nomeada de "u" e consequentemente derivada, já quando está mais para a direita, a função é cotada para ser "dv" e integrada. Na nossa integral temos a função algébrica x² e trigonométrica senx, de acordo com a escala u = x² e dv = senx.

$\sf u = x {}^{2} \Longleftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{2} )\Longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 2x\Longleftrightarrow du = 2xdx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf dv = senx \Longleftrightarrow\sf \int dv = \int senxdx\Longleftrightarrow v = \int senx\Longleftrightarrow v = - cosx$

Substituindo essas expressões na relação da integração por partes:

$\sf \int x {}^{2} .senx = - x {}^{2} .cosx - \int cosx.2x \: dx \: \\ \\ \sf \int x {}^{2} .senx = - x {}^{2} .cosx - 2 \int cosx.x \: dx$

Note que surgiu outra integral que deve ser calculada através da integração por partes, seguirá o mesmo estilo que a primeira, a função u = x e dv = cosx, então:

$\sf u = x\Longleftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x)\Longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 1\Longleftrightarrow du = dx \\ \\ \sf dv = cosx\Longleftrightarrow \int dv = \int cosxdx \Longleftrightarrow v = senx \: \: \: \: \:$

Substituindo esses dados na da integração por partes:

$\sf \int x.cosx = x.senx - \int senx dx \\ \\ \sf \int x.cosx = x.senx + cosx \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esse resultado lá na integral que paramos:

$\sf \sf \int x {}^{2} .senx = - x {}^{2} .cosx - 2 \int cosx.x \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \int x {}^{2} .senx = - x {}^{2}.cosx - 2. \left ( x.senx + cosx \right)+ C \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf \int x {}^{2} .senx = - {x}^{2} .cosx - 2xsenx + 2cosx + C}}} \: \: \: \: \: \:$

Se observamos a posição da função f(x) e a função g(x) e compararmos com o nosso resultado, temos então que as funções são:

$\sf f(x) = - x {}^{2} .cosx \: \: \: e \: \: \: g(x) = 2cosx$

Espero ter ajudado