Question

Alguém poderia responder com a resolução passo a passo?

Cefet-SP)
Em uma classe com 20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres, um professos propôs as seguintes regras para divisão dos alunos em duplas:
– as mulheres não podem fazer duplas entre si;
– Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos;
– Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos.
O número de maneiras diferentes de formar as duplas na sala, atendendo a todas as regras do professor, é igual a:
a) 142
b) 168
c) 226
d) 284
e) 312

Answer 1

Com  20  pessoas, serão formadas exatamente  10  duplas diferentes. O problema é saber de quantas formas essas  10  duplas podem ser formadas.


Uma dupla já está determinada:  Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos.

     $\mathsf{n_1=C_{2,\,2}}\\\\ \mathsf{n_1=1}$

onde  n₁  é a quantidade referente a todas as maneiras possíveis de se formarem as duplas pré-determinadas.


Seja  n₂  a quantidade de maneiras possíveis de se formar as outras  9  duplas que faltam. Assim, pelo princípio multiplicativo, a quantidade procurada será

     $\mathsf{n=n_1\cdot n_2}$

—————

Calculando  n₂:

Temos  20 − 2 = 18  pessoas, sendo  13  homens e  5  mulheres.

     •  Total de duplas que é possível formar com os  18  alunos que restaram:

         $\mathsf{n_3=C_{18,\,2}}\\\\ \mathsf{n_3=\dfrac{18\cdot 17}{2\cdot 1}}$

         $\mathsf{n_3=153}$        ✔


Agora vamos às restrições (proibições):

     •  As mulheres não podem fazer duplas entre si. A quantidade de maneiras que isso pode acontecer é

         $\mathsf{n_4=C_{5,\,2}}\\\\ \mathsf{n_4=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}}$

         $\mathsf{n_4=10}$        ✔


     •  Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos. A quantidade de maneiras que isso pode acontecer é

         $\mathsf{n_5=C_{2,\,2}}$

         $\mathsf{n_5=1}$        ✔


Logo,

     $\mathsf{n_2=n_3-n_4-n_5}\\\\ \mathsf{n_2=153-10-1}$

     $\mathsf{n_2=142}$        ✔

—————

Observação:  Pode-se calcular  n₂  de outra forma:

Ainda considerando as  18  pessoas restantes, sendo  13  homens e  5  mulheres, só é possível as duas possibilidades a seguir:  as duplas serão formadas por  2  homens;  ou  por  1  homem e  1  mulher.

     •  Total de duplas que é possível formar com os  2  homens:

     Aqui existe uma restrição:  Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos. Então, devemos descontar  $\mathsf{C_{2,\,2}=1}$  que é a quantidade correspondente a esse caso.

         $\mathsf{n_6=C_{13,\,2}-C_{2,\,2}}\\\\ \mathsf{n_6=\dfrac{13\cdot 12}{2\cdot 1}-1}\\\\\\ \mathsf{n_6=78-1}$

         $\mathsf{n_6=77}$        ✔


     •  Total de duplas que é possível formar com  1  homem e  1  mulher:

         $\mathsf{n_7=C_{13,\,1}\cdot C_{5,\,1}}\\\\ \mathsf{n_7=13\cdot 5}$

         $\mathsf{n_7=65}$        ✔


Portanto, novamente encontramos

     $\mathsf{n_2=n_6+n_7}\\\\ \mathsf{n_2=77+65}$

     $\mathsf{n_2=142}$        ✔

—————

Logo, pelo princípio multiplicativo, a quantidade total maneiras diferentes para se formarem as  10  duplas é

     $\mathsf{n=n_1\cdot n_2}\\\\ \mathsf{n=1\cdot 142}$

     $\mathsf{n=142\quad \longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Resposta:  alternativa  a)  142.


Bons estudos! :-)