Question

ALGUÉM PODERIA POR FAVOR ME AJUDAR NESSA?

Com as core preto, branco, azul, vermelho e verde iremos colorir a figura a cima de modo que regiões fronteriças não tenham a mesma cor. Calcule a quantidade de maneiras *distintas* no máximo que podemos colorir....​

Answer 1

Há 5 cores. Comecemos escolhendo o elemento mais restritivo. Veja que o círculo no meio é o mais concorrente, visto que ele está em contato com todas as outras 4 áreas.

Há 5 modos de escolher a cor do círculo. Escolhida a cor deste, você tem 4 modos de colorir o trapézio $T_1$, já que este não pode ser da mesma cor do círculo. Escolhido o trapézio $T_1$, o trapézio ao lado ($T_2$) tem 3 modos de ser colorido, já que não pode ter a mesma cor que $T_1$ ou que o círculo.

Prevendo um conflito futuro, particionemos a tomada de decisão $T_3$ em dois casos:

Caso 1: $T_3$ tem a mesma cor que $T_1$:

Nessa circunstância, há somente 1 modo de escolher $T_3$, já que este deve ser igual a $T_1$. Isso tem como consequência que $T_4$ tem 3 modos de ser escolhido, pois não pode ser igual a $(T_1, T_3)$ e tampouco ao círculo.

Caso 2: $T_3$ é diferente de $T_1$:

Para que isso ocorra, $T_3$ deve ser diferente do círculo, de $T_1$ e de $T_2$, restando, portanto, somente 2 cores para escolher. Esta decisão tem como consequência 2 modos de escolher $T_4$, pois este deve ser distinto do círculo, de $T_1$ e de $T_3$.

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$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 3 = 180$ modos de se chegar ao caso 1.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 240$ modos de se chegar ao caso 2.

Como o particionamento da decisão $T_3$ resultou em dois casos dependentes entre si, eles devem ser somados, não multiplicados. Total:
$180 + 240 = 420$ maneiras de se pintar a figura.

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Obs: seria o cúmulo que o enunciado não dissesse que a figura é simétrica, ou seja, que as 4 escolhas de um conjunto ordenado de cores para os trapézios fosse na realidade a mesma escolha. Exemplo:

$(T_1, T_2, T_3, T_4)$ ser, nessa ordem, preto, branco, azul e vermelho.

Eu considerei essa escolha DISTINTA de $(T_4, T_1, T_2, T_3)$ ser, nessa ordem, preto, branco, azul e vermelho. Se correspondessem à mesma figura, isso deveria ser especificado no enunciado.