Question

Alguém poderia mim ajuda por favor!


Calcule a integral:

a): . ∫


gente eu não consigo colocar esse símbolo da integral, coloquei o arquivo em foto , alguém por favor mim ajude. ​

Answer 1

A integral da letra a ) pode ser resolvida por meio da substituição trigonométrica. Antes vamos fazer algumas modificações na integral. Ou seja,

$\displaystyle\int~\dfrac{x^2}{\sqrt{9(1-(\frac{x}{3})^2)}}~dx=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int~\dfrac{x^2}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}}~dx$

Dessa forma, temos:

$\begin{cases}x=3~sen~y\\\\dx=3~cos~y~dy\\\\1-sen^2y=cos^2y\end{cases}$

Então

$\dfrac{1}{3}\displaystyle\int~\dfrac{(3~sen~y)^2}{\sqrt{1-(sen~y)^2}}~3~cos~y~dy\\\\\\ \dfrac{1}{3}\displaystyle\int~\dfrac{27sen^2y}{cos~y}~cos~y~dy\\\\\\ \dfrac{27}{3}\displaystyle\int~sen^2y~dy\\\\\\9\displaystyle\int~\dfrac{1}{2}(1-cos~(2y))~dy\\\\\\\dfrac{9}{2}\displaystyle\int~1-cos~(2y)~dy\\\\\\=\dfrac{9}{2}(y-sen~(2y))+c$

Isso ainda não é a resposta da integral, precisamos deixar em termos de x. Assim sendo,

$\dfrac{x}{3}=sen~y~~~~~~~y=arcsen(\frac{x}{3})$

Substituindo

$\boxed{\boxed{=\dfrac{9}{2}(arcsen(\frac{x}{3})-sen~(2~arcsen\frac{x}{3}))+c}}$

Há uma outra resposta possível para essa integral se considerarmos o sen (2y) = 2 sen y . cos y. Veja,

$=\dfrac{9}{2}(y-sen~(2y))+c\\\\\\=\dfrac{9}{2}(arcsen(\frac{x}{3})-2~sen~y~cos~y)+c\\\\\\=\dfrac{9}{2}(arcsen(\frac{x}{3})-\dfrac{2}{9}x\sqrt{9-x^2})+c\\\\\\\boxed{\boxed{=\dfrac{1}{2}(9~arcsen(\frac{x}{3}) -x\sqrt{9-x^2})+c}}$