Question

Alguém poderia me tirar a dúvida da integral de sen(xy)dx?
O desenvolvimento, queria saber porque que dá -cos(xy)/y
principalmente pq o y foi parar no denominador

Answer 1

Olá


$\displaystyle \mathsf{\int sen(xy)dx}$


Perceba que há duas variáveis, 'x' e 'y', mas perceba no final da integral o 'dx', isso significa que estamos integrando somente a variável 'x'.

Não importa se há 1, 2, 3 ou infinitas variáveis, só é possível integrar uma de cada vez.

Com isso, todas as outras variáveis se tornam CONSTANTES. 


Resolvendo a integral...


$\displaystyle \mathsf{\int sen(xy)dx}\\\\\\\\\\\text{Propriedade}\\\boxed{\mathsf{\int sen(\alpha x)dx~=~- \frac{cos(\alpha x)}{\alpha} +C}}\qquad\qquad \alpha \in \Re\\\\\\\text{por tanto, sendo 'y' a constante da integral. fica sendo}\\\\\\\boxed{\mathsf{\int sen(xy)dx~=~- \frac{cos(xy)}{y}+C }}$



Outra maneira de se resolver sem usar a propriedade, é utilizar o método da substituição 'udu'


u = xy
du = ydx

Isola o dx

du/y = dx



Substitui na integral

$\displaystyle \mathsf{\int sen(xy)dx}}\\\\\\\mathsf{\int sen(u) \frac{du}{y} }\\\\\\\text{Tira a constante da integral }\\\\\\\mathsf{ \frac{1}{y}\int sen(u)du }\\\\\\\mathsf{=- \frac{cos(u)}{y}+C }\\\\\\\mathsf{u=xy}\\\\\\\boxed{\mathsf{= -\frac{cos(xy)}{y} +C}}$


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