Question

Alguém poderia me explicar como chego neste resultado em matrizes?

Sei que é multiplicação de linha com coluna porem não estou conseguindo chegar a este resultado.

Fico muito grato..

Answer 1

Existem algumas maneiras de interpretar o produto entre matrizes

Um elemento qualquer cij da matriz produto é dado pelo produto escalar da i-ésima linha da primeira matriz com a j-ésima coluna da segunda matriz:

$\boxed{\boxed{Sendo~B=(b_{ij})_{pxm}~e~A=(a_{ij})_{mxn},~C=(c_{ij})_{pxn},~onde~c_{ij}=\sum\limits_{i=1}^{m}b_{ik}\cdot a_{kj}}}$

* C é a matriz produto

Ou:

Uma linha da matriz produto é a combinação linear das linhas da segunda matriz, utilizando como coeficientes as entradas da linha correspondente da primeira matriz

Ou:

Uma coluna da matriz produto é a combinação linear das colunas da primeira matriz, utilizando como coeficientes as entradas da coluna correspondente da segunda matriz
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$C=A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}3&1&-2\\1&0&4\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}4&1\\2&5\\1&0\end{array}\right]$

A matriz A possui 2 linhas e 3 colunas, já a B possui 3 linhas e 2 colunas. O produto é possível, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, e a matriz produto terá a mesma quantidade de linhas que A e a mesma quantidade de colunas que B: Será uma matriz 2 x 2

Usando o primeiro método:

c₁₁ -> prod. escalar da 1ª linha da 1ª matriz com a 1ª coluna da 2ª
c₁₂ -> prod. escalar da 1ª linha da 1ª matriz com a 2ª coluna da 2ª
c₂₁ -> prod. escalar da 2ª linha da 1ª matriz com a 1ª coluna da 2ª
c₂₂ -> prod. escalar da 2ª linha da 1ª matriz com a 2ª coluna da 2ª

Portanto:

$C=\left[\begin{array}{cc}(3\cdot4+1\cdot2-2\cdot1)&(3\cdot1+1\cdot5-2\cdot0)\\(1\cdot4+0\cdot2+4\cdot1)&(1\cdot1+0\cdot5+4\cdot0)\end{array}\right]\\\\\\C=\left[\begin{array}{cc}(12+2-2)&(3+5-0)\\(4+0+4)&(1+0+0)\end{array}\right]\\\\\\\boxed{\boxed{C=\left[\begin{array}{cc}12&8\\8&1\end{array}\right]}}$

Usando o segundo método:

Cada linha do produto será C.L das linhas de B, usando como coeficientes as entradas da respectiva linha de A. Sendo assim:

$C=\left[\begin{array}{c}3[4~~1]+1[2~~5]-2[1~~0]\\1[4~~1]+0[2~~ 5]+4[1~~0]\end{array}\right]\\\\\\C=\left[\begin{array}{c}~(12~~~3)+(2~~~5)+(-2~~~0)\\(4~~~~1)+(0~~~~0)+(4~~~~~0)\end{array}\right]\\\\\\\boxed{\boxed{C=\left[\begin{array}{cc}12&8\\8&1\end{array}\right]}}$

Usando o terceiro método:

Cada coluna do produto será C.L das colunas de A, usando como coeficientes as entradas da respectiva coluna de B

$C=\left[4\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}-2\\4\end{array}\right]~~~~~1\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}-2\\4\end{array}\right]\right]$

$C=\left[\left[\begin{array}{c}12\\4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2\\4\end{array}\right]~~~~~\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}5\\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]\right]\\\\\\\boxed{\boxed{C=\left[\begin{array}{cc}12&8\\8&1\end{array}\right]}}$

O gabarito está errado!