Question

Alguém poderia me ajudar resolver essa questão de cálculo:

Considerando a curva: y^4 + x^2 = 17
Calcule dy/dx no ponto (1, 2)
e depois tenho q determinar a reta tangente nesses pontos (1, 2)

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$y {}^{4} + x {}^{2} = 17$

A questão quer saber qual a reta tangente a essa curva e que passe pelo ponto (1, 2). Primeiro devemos encontrar o coeficiente angular dessa tal reta, para isso basta lembrar que a derivada tem justamente o significado de coeficiente angular da reta tangente. Note que se formos derivar, será necessário usar a derivada implicita, ou seja, considerar que "y" é uma função de "x", isto é, sempre que derivarmos "y", devemos multiplicar pela derivada do mesmo (dy/dx):

$\frac{d}{dx} y {}^{4} + \frac{d }{dx} x {}^{2} = \frac{d}{dx} 17 \\ \\ 4y {}^{3} . \frac{dy}{dx} + 2x = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 4y {}^{ 3} . \frac{dy}{dx} = - 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{ - x}{2y {}^{3} }} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Encontramos o coeficiente angular, mas não na forma numérica, então devemos substituir o ponto em que a reta passa e descobrir o valor desse coeficiente na forma numérica:

$\frac{dy}{dx} = \frac{ - x}{2y {}^{3} } \longrightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{2.2 {}^{3} } \\ \boxed{\frac{dy}{dx} - \frac{1}{16 }}$

Por fim, basta substituir esse dados na equação fundamental da reta. (Lembre-se que dy/dx = m).

$y - y_0 = m.(x - x_0) \\ \\ y - 2 = - \frac{1}{16} .(x - 1) \\ \\ y - 2 = - \frac{x}{16} + \frac{1}{16} \: \: \: \: \\ \\ y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{16} + 2 \: \: \: \: \\ \\ \boxed{y = - \frac{x}{16} + \frac{33}{16} }$

Espero ter ajudado