Alguém poderia me ajudar.. O volume de umaa pirâmide triangular regular é 64 raiz 3 cm cubicos. Determine a medida da aresta lateral, sabendo que a altura é igual ao semi perímetro da base ??
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1
Poliedro regular : Aquele em que a base é um polígono regular (arestas e ângulos iguais).
Sendo uma pirâmide triangular regular (tetraedro), a base é um triângulo equilátero.
Sendo o lado desse triângulo equilátero = "L" cm.
Sendo os três lados da base iguais, temos que seu perímetro (P(teq)) é 3 * L:
Sp(teq) = P(teq) / 2
(Sp(teq) → Semiperímetro do triângulo equilátero)...)
Sp(teq) = 3 * L / 2
No enunciado, fala-se que a altura "H" da pirâmide é igual a esse semiperímetro :
H = Sp(teq)
H = 3 * L / 2...
Uma relação métrica já conhecida é a da área do t. equilátero (A(teq) :
A(teq) = L² * √3 / 4
(Sendo a base "L" e a altura do t. equilátero = L * √3/2).
V(pir) = Ab * H / 3
V(pir) ⇒ Volume da pirâmide;
Ab ⇒ Área da base;
H ⇒ Altura da pirâmide...
Sendo Ab = A(teq) e H = Sp(teq):
V(pir) = A(teq) * Sp(teq) / 3
Sendo V(pi) = 64 * √3 cm³ :
64 * √3 = (L² * √3 / 4 * 3 * L / 2) / 3
64 * √3 = L² * √3 / 4 * 3 * L / 2 * 1/ 3
Podemos cancelar √3 e 3 :
64 = L² / 4 * L / 2
64 = L³ / 8
64 * 8 = L³
512 = L³
L = ∛512
L = 8 cm ⇒ Lado da base da pirâmide !
Agora, olhe o anexo.
Nele, de forma bem rudimentar, quis demostrar como fica a pirâmide.
A altura H (em azul) é fincada no baricentro da base.
Sendo a base um triângulo equilátero, o baricentro divide em 2 partes a altura da mesma. Como o baricentro divide na proporção de 2:1, então a parte em amarelo corresponde a 2/3 da altura da base.
A aresta lateral "x" (vermelho), esses 2/3 da altura da base (amarelo) e a altura da pirâmide "H" (azul) formam um triângulo retângulo. Aplicando Pitágoras :
x² = H² + (2/3 ( h(teq)))²
Sendo ⇒
H (altura da pirâmide) = 3 / 2 * L;
h(teq) = L * √3 / 2 (relação métrica);
L = 8 cm...
x² = (3 /2 * 8) ² + (2/3 * 4 * √3 / 2)²
x² = (12)² + (4 * √3 / 3)²
x² = 144 + 16 * 3 / 9
x² = 144 + 16 / 3 (Igualando os denominadores : )
x² = (3 * 144 + 16) / 3
x² = 448/3 (racionalizando)
x = (√448 / 3)
x = √448 / √3 (racionalizando)
x = 8 * √7 / √3
x = 8 * √7 * √3 / (√3 * √3)
x = 8 * √21 / 3 ⇒ Aresta lateral !
Sendo uma pirâmide triangular regular (tetraedro), a base é um triângulo equilátero.
Sendo o lado desse triângulo equilátero = "L" cm.
Sendo os três lados da base iguais, temos que seu perímetro (P(teq)) é 3 * L:
Sp(teq) = P(teq) / 2
(Sp(teq) → Semiperímetro do triângulo equilátero)...)
Sp(teq) = 3 * L / 2
No enunciado, fala-se que a altura "H" da pirâmide é igual a esse semiperímetro :
H = Sp(teq)
H = 3 * L / 2...
Uma relação métrica já conhecida é a da área do t. equilátero (A(teq) :
A(teq) = L² * √3 / 4
(Sendo a base "L" e a altura do t. equilátero = L * √3/2).
V(pir) = Ab * H / 3
V(pir) ⇒ Volume da pirâmide;
Ab ⇒ Área da base;
H ⇒ Altura da pirâmide...
Sendo Ab = A(teq) e H = Sp(teq):
V(pir) = A(teq) * Sp(teq) / 3
Sendo V(pi) = 64 * √3 cm³ :
64 * √3 = (L² * √3 / 4 * 3 * L / 2) / 3
64 * √3 = L² * √3 / 4 * 3 * L / 2 * 1/ 3
Podemos cancelar √3 e 3 :
64 = L² / 4 * L / 2
64 = L³ / 8
64 * 8 = L³
512 = L³
L = ∛512
L = 8 cm ⇒ Lado da base da pirâmide !
Agora, olhe o anexo.
Nele, de forma bem rudimentar, quis demostrar como fica a pirâmide.
A altura H (em azul) é fincada no baricentro da base.
Sendo a base um triângulo equilátero, o baricentro divide em 2 partes a altura da mesma. Como o baricentro divide na proporção de 2:1, então a parte em amarelo corresponde a 2/3 da altura da base.
A aresta lateral "x" (vermelho), esses 2/3 da altura da base (amarelo) e a altura da pirâmide "H" (azul) formam um triângulo retângulo. Aplicando Pitágoras :
x² = H² + (2/3 ( h(teq)))²
Sendo ⇒
H (altura da pirâmide) = 3 / 2 * L;
h(teq) = L * √3 / 2 (relação métrica);
L = 8 cm...
x² = (3 /2 * 8) ² + (2/3 * 4 * √3 / 2)²
x² = (12)² + (4 * √3 / 3)²
x² = 144 + 16 * 3 / 9
x² = 144 + 16 / 3 (Igualando os denominadores : )
x² = (3 * 144 + 16) / 3
x² = 448/3 (racionalizando)
x = (√448 / 3)
x = √448 / √3 (racionalizando)
x = 8 * √7 / √3
x = 8 * √7 * √3 / (√3 * √3)
x = 8 * √21 / 3 ⇒ Aresta lateral !
Anexos:
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