Question

Alguém poderia me ajudar nesta questão ?
Qual é a soma de valores de a e b, respectivamente, de modo que P(x) = x³-7x²+ax+b seja divisível por D (x) = x²-3x+2 ?

Answer 1

É uma questão de divisão de polinômio por polinômio.

Devemos dividir $P(x)$ por $D(x)$, e então encontrar os valores de $a$ e $b$

que tornam o resto da divisão igual a zero.

A resposta será a soma $a+b$

Começamos a resolver  $\frac{x^{3} -7x^{2}+ax+b}{x^{2} -3x+2}$ dividindo o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador, encontrando o primeiro termo do quociente.

$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$

Multiplicamos este termo pelo divisor:

$x D(x) = x(x^{2}-3x+2) = x^{3} - 3x^{2} + 2x$

Subtraímos o resultado do dividendo, obtendo o primeiro resto parcial:

$P(x) - (x^{3} - 3x^{2} + 2x)=$

$= x^{3} -7x^{2} + ax +b - x^{3} + 3x^{2} - 2x$

$= -4x^{2} + (a-2)x +b$

Então dividimos o resto parcial $-4x^{2} + (a-2)x +b$ por $D(x)$ da mesma maneira.

Repetimos o processo até encontrarmos um resto parcial de grau menor que o do divisor, ou igual a zero.

Prosseguindo:

$\frac{-4x^{2} }{x^{2} } = -4$

Encontramos mais um termo do quociente, que agora é: $x - 4$

Multiplicamos o novo termo pelo divisor:

$-4(x^{2} -3x+2) = -4x^{2} +12x-8$

Subtraímos o resultado do último resto parcial:

$-4x^{2} + (a-2)x +b - (-4x^{2} +12x-8)=$

$=-4x^{2} + (a-2)x +b + 4x^{2} - 12x + 8$

$=(a-14)x +(b + 8)$

Esse resto parcial tem grau menor do que o divisor, portanto paramos a divisão.

O quociente é:   $x-4$

O resto é:          $(a-14)x +(b + 8)$

Para que $P(x)$ seja divisível por $D(x)$, o resto deve ser zero.

Para isso, os dois termos entre parênteses do resto devem ser ambos iguais a zero.

Portanto:

$a-14 = 0\\a = 14$

E também:

$b+8=0\\b = -8$

Assim, a soma $a+b$ será:

$a+b = 14 + (-8)$

a + b = 6