Question

Alguem poderia me ajudar nao estou conseguindo realizar o calculo

Answer 1

Resposta:

$y = \frac{1}{3} sen (x^3-1) + 2$

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, este problema pode ser resolvido por variáveis separáveis, isto é:

$\frac{dy}{dx} = x^2*cos(x^3-1) \\\\dy = dx * x^2*cos(x^3-1) \\\\\int\limits {dy} = \int\limits {x^2*cos(x^3-1) } \, dx \\\\y = \int\limits {x^2*cos(x^3-1) } \, dx$

Para esta integral, podemos realizar uma substituição simples, onde chamamos u = x³ - 1, e por consequencia, du = 3x² dx  --> du / 3 = x² dx. Assim, voltando à integral:

$\int {\frac{cos(u)}{3} } \, du \\\\\frac{1}{3} \int {cos(u)} \, du \\\\\frac{1}{3} sen(u) + C$

Agora, voltamos u = x³ - 1 e aplicamos a condição inicial para encontrar C.

$\frac{1}{3} sen (1^3- 1) + c = 2\\\\\frac{1}{3} sen(0) + c = 2 \\\\c = 2$

Por fim temos: $y = \frac{1}{3} sen (x^3-1) + 2$

Answer 2

Supondo que se pede:

$\frac{d}{dx} [x^2 \cdot cos(x^3-1)]$

Aplicando a regra do produto:

$\frac{d}{dx} (u\cdot v) = u' \cdot v + u \cdot v'$

u = x², v = cos(x³ − 1)

$\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$

Sendo  $\frac{d}{dx}cos \ u = -sen \ u \cdot u'$

$\frac{d}{dx} cos(x^3-1) = -sen(x^3 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^3-1)= -sen(x^3 - 1) \cdot 3x^2$

Portanto:

$\frac{d}{dx} [x^2 \cdot cos(x^3-1)] = 2x \cdot cos(x^3-1) +x^2 \cdot [-sen(x^3 - 1) \cdot 3x^2]$

$\frac{d}{dx} [x^2 \cdot cos(x^3-1)] = \Large 2x \cdot cos(x^3-1) -3x^4 \cdot sen(x^3 - 1)$

É dado para conferência:

y(1) = 2

$y(x) = 2x \cdot cos(x^3-1) -3x^4 \cdot sen(x^3 - 1)$

$y(1) = 2 \cdot 1 \cdot cos(1^3-1) -3 \cdot 1^4 \cdot sen(1^3 - 1)$

$y(1) = 2 \cdot cos(0) -3 \cdot sen(0)$

$y(1) = 2 \cdot 1 -3 \cdot 0$

y(1) = 2 Confere com o valor fornecido, portanto a derivada obtida está (provavelmente) certa.