Question

Alguem poderia me ajudar na demonstração da identidade trigonometrica abaixo na imgaens anexada, faço calculo I e estou em integrais e essa identidade esta me deixando cheio de duvidas, os videos que vi os caras  ja mostram a identidade pronta, mas eu gostaria de ver a deonstração .  vlwww

Answer 1

Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos temos
$\boxed{\boxed{cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sen(a)*sen(b)}}$

logo...cos (2x) vai ser
$cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)*cos(x)-sen(x)*sen(x)\\\\\boxed{cos(2x)=cos(x+x)=cos^2(x)-sen^2(x)}$

no circulo trigonométrico ele tem raio medindo 1
se vc pegar um ponto desse circulo (da borda' rs) 
e fizer um triangulo retangulo nele de base cos (x) e altura sen (x) logo a hipotenusa irá medir 1...porque o raio é 1

aplicando o teorema de pitagoras
$1^2=(cos(x))^2+(sen(x))^2\\\\\boxed{1=cos^2(x)+sen^2(x)}$

isolando o cosseno
$\boxed{cos^2(x)=1-sen^2(x)}$

agora substituindo o valor de cos²(x) naquela primeira equação 
$cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)\\\\cos(2x)=(1-sen^2(x))-sen^2(x)\\\\cos(2x)=1-2sen^2(x)\\\\cos(2x)-1=-2sen^2(x)\\\\ \frac{cos(2x)-1}{-2} =sen^2(x)$

como está dividindo por um numero negativo..inverte os sinais do numerador
$\frac{-cos(2x)+1}{2}=sen^2(x)\\\\\\\boxed{\boxed{sen^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{2} }}}$