Question

Alguém poderia me ajudar com uma questão?
A questão é a seguinte:
"Encontre$\lim_{x \to \infty} f(x)$ se:
$\frac{4x-1}{x}\ \textless \ f(x)\ \textless \ \frac{4 x^{2}+3 }{ x^{2} }$
Para todo x>5."

Answer 1

Temos que

$\mathtt{\dfrac{4x-1}{x}<f(x)<\dfrac{4x^2+3}{x^2}}\\\\\\ \mathtt{g(x)<f(x)<h(x)}$


para todo $\mathtt{x>5,}$ sendo

$\mathtt{g(x)=\dfrac{4x-1}{x}~~e~~h(x)=\dfrac{4x^2+3}{x^2}}.$

______

Calculemos os seguintes limites:

•   $\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~g(x)}$

$=\displaystyle\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~\frac{4x-1}{x}}\\\\\\ =\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~\frac{4\diagup\!\!\!\! x\cdot \left(1-\frac{1}{4x}\right)}{\diagup\!\!\!\! x}}\\\\\\ =\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~4\cdot \left(1-\frac{1}{4x}\right)}\\\\\\ =\mathtt{4\cdot (1-0)}\\\\ =\mathtt{4\quad\quad(i)}$


•   $\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~h(x)}$

$=\displaystyle\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~\frac{4x^2+3}{x^2}}\\\\\\ =\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~\frac{4\diagup\!\!\!\!\! x^2\cdot \left(1+\frac{3}{4x^2}\right)}{\diagup\!\!\!\!\! x^2}}\\\\\\ =\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~4\cdot \left(1+\frac{3}{4x^2}\right)}\\\\\\ =\mathtt{4\cdot (1+0)}\\\\ =\mathtt{4\quad\quad(ii)}$

_______

Então temos que

•   $\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~g(x)=\underset{x\to \infty}{lim}~h(x);}$

•   $\mathtt{g(x)<f(x)<h(x),}$   para todo $\mathtt{x>5.}$


Logo, pelo Teorema do Confronto, obtemos que

$\boxed{\begin{array}{c}\mathtt{\underset{x\to \infty}{lim}~f(x)=4}\end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)