Question

Alguém poderia me ajudar com essa questão de números complexos ?
A expressão i5+i6-i7/i12+i13+i14 corresponde a:
a)2-i
b)i
c)-i
d)3+i
e)2+i

Answer 1

Esses números (5,6,7 etc) são a multiplicação (5i, 6i, etc) ou são elevados (i^5, i^6 etc) ?

Answer 2

Vamos lá.

Tem-se a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "z", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa, e que estamos entendendo que ela esteja escrita da seguinte forma:

z = (i⁵ + i⁶ - i⁷)/(i¹²+i¹³+i¹⁴)

Bem, se for isso mesmo, então veja isto: todas as potências de "i" terminam sendo uma das quatro seguintes:

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = - 1
i³ = -i

Ou seja, as potências de "i" têm um ciclo de quatro em quatro. A partir de "i³" começa tudo de novo.
Assim, pra você saber qual é a potência de iⁿ, basta você dividir "n" por "4" e ver qual é o resto que deu. Será, pois, esse resto que você vai utilizar.
Veja estes exemplos:

i²⁰. Divide-se "20" por "4". Dá quociente "5" e resto "0". Logo: i²⁰ = i⁰ = 1
i²¹. Divide-se "21" por "4". Dá quociente "5" e resto "1". Logo: i²¹ = i¹ = i
i²². Divide-se "22" por "4". Dá quociente "5" e resto "2". Logo: i²² = i² = - 1
i²³. Divide-se "23" por "4". Dá quociente "5" e resto "3". Logo: i²³ = i³ = - i.

Então, trazendo esse mesmo ciclo para a nossa questão, que é esta:

z = (i⁵ + i⁶ - i⁷)/(i¹²+i¹³+i¹⁴) , vamos ver que:

i⁵. Divide-se "5" por "4". Dá quociente "1" e resto "1". Logo: i⁵ = i¹ = i
i⁶. Divide-se "6" por "4". Dá quociente "1" e resto "2". Logo: i⁶ = i² = -1
i⁷. Divide-se "7" por "4". Dá quociente "1" e resto "3". Logo: i⁷ = i³ = -i
i¹². Divide-se "12" por "4". Dá quociente "3" e resto "0". Logo: i¹² = i⁰ = 1
i¹³. Divide-se "13" por "4". Dá quociente "3" e resto "1". Logo: i¹³ = i¹ = i
i¹⁴. Divide-se "14" por "4". Dá quociente "3" e resto "2". Logo: i¹⁴ = i² = -1.

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

z = (i + (-1) - (-i))/(1+i+(-1))  ----- desenvolvendo, ficaremos com:
z = (i - 1 + i)/(1 + i - 1) ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
z = (-1 + 2i) / (i) ---- ou apenas, o que é a mesma coisa:
z = (-1+2i) / i ----- agora veja: vamos racionalizar. Para isso, basta que multipliquemos numerador e denominador pelo conjugado do denominador que, no caso, vai ser "-i". Assim, multiplicando-se numerador e denominador, teremos:

z =[(-1+2i)*(-i)] / i*(-i)
z = (i-2i²)/-i² ----- como "i²" = -1, teremos:
z = (i-2*(-1))/-(-1)
z= (i+2)/1 --- ou apenas:
z = i+2 ---- ou, o que é a mesma coisa:
z = 2 + i <---- Esta é a resposta.Opção "e".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.