Question

Alguém poderia me ajudar com essa integral???
O enunciado menciona somente "calcule a integral"

Answer 1

Pode-se resolver esta integral pelo método de integração por partes. Considerando duas funções $u$ e $v$, temos que:

$\int u'\cdot v\;dx=u\cdot v-\int u\cdot v'\;dx$

Considerando $u=e^t$ e $v=\sin t$, podemos dizer que $u=u'$, logo:

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=\int u'\cdot v\;dt$

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=u\cdot v-\int u\cdot v'\;dt$

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=e^t\sin t-\int e^t\cos t\;dt$

Podemos aplicar novamente este método. Considerando $u=e^t$ e $v=\cos t$, temos que $u=u'$, logo:

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=e^t\sin t-\int u'\cdot v\;dt$

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=e^t\sin t-(u\cdot v-\int u\cdot v'\;dt)$

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=e^t\sin t-[e^t\cos t-\int e^t(-\sin t)\;dt]$

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=e^t\sin t-(e^t\cos t+\int e^t\sin t\;dt)$

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=e^t\sin t-e^t\cos t-\int e^t\sin t\;dt$

$\int e^t\sin t\;dt+\int e^t\cdot\sin t\;dt=e^t\sin t-e^t\cos t$

$2\int e^t\cdot\sin t\;dt=e^t\sin t-e^t\cos t$

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=\frac{e^t\sin t-e^t\cos t}{2}$

$\int e^t\cdot\sin t\;dt=\frac{e^t(\sin t-\cos t)}{2}+C$

Answer 2

Resposta:

∫ e^t * sen(t)  dt

Fazendo por Partes

u=sen(t) ==> du=cos(t) dt

dv = e^t dt   ==> ∫ dv = ∫ e^t dt ==>v= e^t

∫ e^t * sen(t)  dt = e^(t) * sen(t)  - ∫ e^t* cos(t) dt

_______________________________________

**resolvendo ∫ e^t* cos(t) dt

Fazendo por partes

u=cos(t) ==>du=-sen(t) dt

dv = e^t dt   ==> ∫ dv = ∫ e^t dt ==>v= e^t

∫ e^t* cos(t) dt =e^(t) - ∫ e^(t) ( -sen(t) dt)

∫ e^t* cos(t) dt =e^(t)*cos(t) + ∫ e^(t) sen(t) dt

________________________________________

∫ e^t * sen(t)  dt = e^(t) * sen(t)  - [e^(t)*cos(t) + ∫ e^(t) sen(t) dt]

2*∫ e^t * sen(t)  =e^(t) * sen(t)  - e^(t) *cos(t)

∫ e^t * sen(t)  = (1/2)* e^(t) * [sen(t)  - cos(t)]   + constante