Question

Alguém poderia me ajudar com essa derivada, obrigada

Answer 1

Lembrando que y = f(x), temos que,

y = tg²(2x²+x), que também pode ser escrito assim,

y = [tg(2x²+x]²

Como y é uma função composta, vamos usar a regra da cadeia, eu vou mostrar por duas notações:

Vamos chamar

tg(2x²+x) = u, 2x² + x = v, então ficaria

y = u², onde u = tg(v), utilizando a regra da cadeia vai ficar assim:

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx} \\ \\y' = 2u^1 \cdot sec^2(v) \cdot (4x + 1) \\ y' = 2(tg(2x^2+x)) \cdot sec^2(2x^2+x)\cdot(4x+1)\\ y'=(8x + 2)\cdot tg(2x^2+x)\cdot sec^2(2x^2+x)$

Agora precisamos lembrar de algumas identidades trigonométricas, que são:

$tg(x)=\dfrac{sen(x)}{cos(x)} \\ \\ sec(x) = \dfrac{1}{cos(x)}$

Usando essas identidades em y', fica:

$y' = (8x+2)\cdot \dfrac{sen(2x^2+x)}{cos(2x^2+x)}\cdot \dfrac{1^2}{cos^2(2x^2+x)}\\ \\y' = (8x+2)\cdot \dfrac{sen(2x^2+x)}{cos^3(2x^2+x)}$

Bons estudos.