Question

Alguém poderia me ajudar a responder esta questão.

. No projeto de ampliação de um sistema viário, o engenheiro responsável utilizou o plano cartesiano para descrever tal projeto. As equações do anel viário e da estrada no projeto são dadas por x 2 + y 2 − 10x + 4y − 20 = 0 e x + y = k respectivamente. Responda os itens abaixo, (a) Para quais valores de k o anel viário e a estrada terão duas interseções?
(b) Para quais valores de k o anel viário e a estrada terão apenas uma interseção?
(c) Para quais valores de k o anel viário e a estrada não se intersectarão?

2. Duas partículas se movimentam no espaço. As equações que descrevem tais movimentos são dadas por (x − 2) 2 + (y − 3) 2 + (z + 5) 2 = 3 2 e x + y + z = 0. Qual é a curva que descreve os possíveis pontos de encontro de tais partículas? (Justifique a sua resposta) Bom Trabalho

Answer 1

Olá

1) Temos que $x^{2}+y^{2}-10x+4y-20=0$ corresponde uma circunferência da forma $(x-5)^{2}+(y+2)^{2}=49$

Começarei pela letra b)

Para ter apenas uma interseção, a reta deve ser tangente à circunferência.

Para isso, considere que y = k - x

Substituindo em $x^{2}+y^{2}-10x+4y-20=0$ temos que:

$x^{2}+(k-x)^{2}-10x+4(k-x)-20=0$
$x^{2}+k^{2}-2kx+x^{2}-10x+4k-4x-20=0$
$2x^{2}-x(2k+14)+(k^{2}+4k-20)=0$

Utilizando Bháskara:

Δ = $-4k^{2}+24k+356$

Para que seja tangente, Δ = 0, então, 

$-4k^{2} +24k+356 = 0$

Daí, utilizando Bháskara novamente encontraremos dois valores para k:

$k = 3-7\sqrt(2)$ ou $k = 3+7\sqrt(2)$

Esses são os dois valores para que tenha uma interseção.

a) Para que tenha duas interseções o k deve pertencer ao intervalo $(3-7\sqrt{2}, 3+7\sqrt{2})$

c) Para que não tenha interseção, k deve pertencer ao intervalo: $(-\infty,-7]U[7, \infty)$

2) A questão 2 resolvi utilizando o Geogebra.

Observe que temos uma esfera e um plano. Quando esse plano intersecciona a esfera temos uma circunferência como a trajetória pedida.