Question

Alguém poderia fazer o passo a passo dessa integral me ajudaria muito

Answer 1

 Podemos resolver de uma maneira bem simples, primeiro separamos o 2 e o x na raiz quadrada e fazemos o produto entre o x e a raiz de x, lembrando das propriedades da potência:

$\int\limits^2_0 {x\cdot \sqrt{2\cdot x}} \, \ dx \\ \\\int\limits^2_0 {x\cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{2}} \, \ dx \\ \\\int\limits^2_0 {x^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt{2} \, \ dx \\ \\\sqrt{2}\cdot \int\limits^2_0 {x^{\frac{3}{2}}} \ dx$

 A partir daqui fica bem simples de resolver, só utilizar aquela propriedade das potências, que deve ser uma das primeiras coisas que aprendemos:

$\int\limits {x^{n}} \, dx = \dfrac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+C$

 Sabendo disso, podemos calcular a integral nesse intervalo:

$\sqrt{2}\cdot \int\limits^2_0 {x^{\frac{3}{2}}} \ dx \\ \\\\\sqrt{2}\cdot [\dfrac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}]^{2}_{0} \\ \\\sqrt{2}\cdot [\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}]^{2}_{0} \\ \\\sqrt{2}\cdot [\dfrac{2\cdot x^{\frac{5}{2}}}{5}]^{2}_{0} \\ \\\sqrt{2}\cdot [\dfrac{2\cdot2^{\frac{5}{2}}}{5}-\dfrac{2\cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}]$

$\sqrt{2}\cdot \dfrac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \\ \\\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2^{7}} }{5} \\ \\\dfrac{\sqrt{2\cdot 2^{7}}}{5} \\ \\\dfrac{\sqrt{2^{8}}}{5} \\ \\\dfrac{2^{4}}{5} \\ \\\dfrac{16}{5}$

Qualquer dúvida só perguntar!

Answer 2

Resposta:

0   a   2  ∫ x*√2x   dx

0   a   2   √2  ∫ x*√x    dx

0   a   2   √2  ∫ x¹ *x^(1/2)   dx

0   a   2   √2  ∫ x^(1+1/2)   dx

0   a   2   √2  ∫ x^(3/2)   dx

0   a   2   √2  [x^(3/2 +1)/ (3/2+1)  ]

0   a   2   √2  [x^(5/2)/ (5/2)  ]

0   a   2   (2*√2/5)*  [x^(5/2)]

=  (2*√2/5)*  [2^(5/2)]  -     (2*√2/5)*  [0^(5/2)]

=  (2*√2/5)*  [2^(5/2)]

=  (2*√2/5)*  [√2⁵]  

=  (2/5)*  [√2*√2⁵]  

=  (2/5)*  √2⁶

=  (2/5)*  2³

=(2/5)*8

=16/5 =3,2