Question

ALGUÉM PODERIA AJUDAR?


O limite das taxas médias de variação de uma função que descreve a relação entre duas quantidades x e y é chamada de taxa de variação instantânea de y em relação a x em $x=x_1$ , e pode ser calculada por $f'(x_1)$ .


BRESCANSIN, Alexandra Y.F. Cálculo Diferencial e Integral I. Maringá-PR: Unicesumar, 2016. P.151.


Um grupo de 200 estudantes universitários foi testado semestralmente durante um período de quatro anos, o grupo era composto de alunos que fizeram um curso de inglês durante o primeiro ano de faculdade e não continuaram a estudar o idioma. A pontuação média no teste p (em porcentagem) é modelada por:


$p(t)=91,6-15,6.ln(t+1) , 0\leq t\leq 48$


no qual t é o tempo em meses.


Qual foi a taxa de variação da pontuação média depois de um ano? Qual a interpretação do resultado obtido?



Alternativa 1:

p'(12) = 0. Isso significa que a pontuação média manteve-se inalterada no período.


Alternativa 2:

p'(12) = 3,1. Isso significa que a pontuação média estava crescendo à taxa de 3,1% ao mês.


Alternativa 3:

p'(12) = 1,8. Isso significa que a pontuação média estava crescendo à taxa de 1,8% ao mês.


Alternativa 4:

p'(12) = -1,2. Isso significa que a pontuação média estava decrescendo à taxa de 1,2% ao mês.


Alternativa 5:

p'(12) = -2,4. Isso significa que a pontuação média estava decrescendo à taxa de 2,4% ao mês.

Answer 1

Sendo a pontuação média no teste p igual a p(t) = 91,6 - 15,6.ln(t + 1), vamos, primeiramente, derivar essa função.

Perceba que precisaremos utilizar a Regra da Cadeia.

Lembrando que $(ln(x))' = \frac{1}{x}$, temos que:

$p'(t) = -15,6.\frac{1}{t+1}.(t+1)'$

$p'(t) = -\frac{15,6}{t+1}$.

Como queremos a taxa de variação da pontuação média depois de um ano, então faremos t = 12, já que na modelagem o valor de t está em meses.

Assim, temos que:

$p'(12) = -\frac{15,6}{12+1}$

$p'(12)=-\frac{15,6}{13}$

p'(12) = -1,2.

Ou seja, a pontuação média estava decrescendo a 1,2% ao mês.

Alternativa correta: Alternativa 4.