Question

Alguém poderia achar a derivada dessa função, por favor: $y=\frac{\sqrt{x} }{x+1}$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y'=-\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}\cdot (x+1)^2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a derivada de uma função racional, utilizamos a regra do quociente.

Seja uma função $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, sua derivada é calculada da seguinte forma:

$f'(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-v'(x)\cdot u(x)}{(v(x))^2}$

Então, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

Temos a função $y=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$

Sua derivada será:

$y'=\dfrac{(\sqrt{x})'\cdot (x+1)-(x+1)'\cdot \sqrt{x}}{(x+1)^2}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma da derivada destas funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Sabendo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, teremos

$y'=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x+1)-((x)'+(1)')\cdot \sqrt{x}}{(x+1)^2}$

Aplique a propriedade da derivada de uma potência e de uma constante

$y'=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2}$

Multiplique os valores e resolva a fração de frações

$y'=\dfrac{x+1-2x}{2\sqrt{x}\cdot(x+1)^2}$

Some os valores

$y'=-\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}\cdot (x+1)^2}$

Esta é a derivada desta função.