Question

Alguém poder ajudar
Demonstre que:

a) (tg(x))' = sec²(x)

Answer 1

Questão: Demonstre que a derivada da tg(x) é sec²(x).

• Como encontrar a derivada de uma função?

Para derivar uma função, podemos seguir dois rumos principais:

1. Utilizando a definição formal de derivadas, servindo para mostrar como chegar à função derivada.
2. Utilizando as regras práticas das derivadas, por exemplo, a regra do expoente ou a regra do produto.

• O que é a função tangente?

A função tangente, tg(x), nada mais é que a razão de duas funções trigonométricas conhecidas:

$\boxed{\mathsf{tg(x)=\dfrac{sen(x)}{cos(x)}}}$

Onde o x admite qualquer valor real, exceto aqueles múltiplos de π/2, pois senão cos(x) = 0 [que é absurdo no denominador].

• Resolução da questão:

Derivando a função tg(x) aplicando a regra da derivação de um quociente, temos:

$\mathsf{tg'(x) = \left({\dfrac{sen(x)}{cos(x)}}}\right)'}}\\\\\\\mathsf{\left({\dfrac{sen(x)}{cos(x)}}}\right)'} =\\\\\\ \mathsf{\dfrac{sen'(x).cos(x)-cos'(x).sen(x)}{cos^2(x)}}= \\\\\\ \mathsf{\dfrac{cos(x).cos(x)-(-sen(x)).sen(x)}{cos^2(x)}} = \\\\\\\mathsf{\dfrac{cos^2(x)+sen^2(x)}{cos^2(x)}} = ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[\mathsf{sen^2(x) + cos^2(x) = 1}]\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{cos^2(x)}} =\\\\\\\boxed{\mathsf{sec^2(x)}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\blacksquare$

• Aprenda mais sobre derivadas:

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