Question

Alguem pode responder esse exercicio de integral definida ?
a. A integral definida
b. A área sob o gráfico f nos intervalos dados
1. f(x) = x^3 em [-2, 2]

Answer 1

$f(x)=x^3$ no intervalo $[-2,\,2].$


a) $f$ é contínua no intervalo dado, logo podemos calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(x)\big|_a^b=F(b)-F(a)$

onde $F(x)$ é uma primitiva de $f(x)$ no intervalo $[a,\,b].$


Regra para encontrar primitiva de potências:

$\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\,,~~~~\text{com }n\ne -1.$


Portanto, a integral definida de $f$ no intervalo $[-2,\,2]$ é

$\displaystyle\int_{-2}^2 x^3\,dx=\\\\\\ =\left.\dfrac{x^{3+1}}{3+1}\right|_{-2}^2\\\\\\ =\left.\dfrac{x^{4}}{4}\right|_{-2}^2\\\\\\ =\dfrac{2^{4}}{4}-\dfrac{(-2)^{4}}{4}\\\\\\ =\dfrac{16}{4}-\dfrac{16}{4}\\\\\\ =0$


Era de se esperar que a integral desse zero, simplesmente pelo seguinte fato:

$f$ é uma função ímpar, e foi integrada sobre um intervalo simétrico em torno da origem $[-2,\,2].$


b) A área sob o gráfico de $f$ no intervalo dado é dada pela seguinte integral definida:

$\displaystyle\int_a^b \big|f(x)\big|\,dx$

(para computar a área, devemos tomar a função em valor absoluto)


Logo, a área é dada por

$A=\displaystyle\int_{-2}^2\big|x^3\big|\,dx\\\\\\ =\int_{-2}^0\big|x^3\big|\,dx+\int_0^2\big|x^3\big|\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Separei convenientemente a integral que fornece a área em uma soma de duas integrais, de modo que o sinal da função integrando não mude.


Sabemos que

$\bullet\;\;$ para $-2\le x\le 0\,,$ temos que

$x^3\le 0~~\Rightarrow~~\big|x^3\big|=-x^3$


$\bullet\;\;$ para $0\le x\le 2\,,$ temos que

$x^3\ge 0~~\Rightarrow~~\big|x^3\big|=x^3$


Sendo assim, a integral $\mathbf{(i)}$ que fornece a área fica

$=\displaystyle\int_{-2}^0 (-x^3)\,dx+\int_0^2 x^3\,dx\\\\\\ =\left.\left(-\,\dfrac{x^{4}}{4} \right )\right|_{-2}^0+\left.\left(\dfrac{x^4}{4} \right )\right|_0^2\\\\\\ =\left[\left(-\,\dfrac{0^{4}}{4} \right )-\left(-\,\dfrac{(-2)^{4}}{4} \right ) \right ]+\left[\left(\dfrac{2^{4}}{4} \right )-\left(\dfrac{0^{4}}{4} \right ) \right ]\\\\\\ =\left[0+\dfrac{16}{4} \right ]+\left[\dfrac{16}{4}-0 \right ]\\\\\\ =4+4\\\\ =8\mathrm{~u.a.}$