Question

Alguém pode resolver essa Integral Definida?

Answer 1

segue imagem.
depois confere se tá certo aí

Answer 2

Após os cálculos realizados e analisado concluímos que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx = \dfrac{575}{8} } }$

Teorema:  Se $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ for contínua em $\boldsymbol{ \textstyle \sf [ a, b ] }$, ou $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ tiver apenas um número finito de descontinuidades de saltos, então $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ é integrável em $\boldsymbol{ \textstyle \sf [a, b] }$; ou seja, a integral definida $\boldsymbol{ \textstyle \sf \int_a^b f(x) \:dx }$  existe.

Algumas Propriedades da Integral Definida:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^a_b f({x}) \, dx = -\:\int\limits^b_a f({x}) \, dx } } }$

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{\int\limits^a_b c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int\limits^a_b f( {x}) \, dx } } }$

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{\int\limits^a_b \left[ f({x}) + g(x) \right] \, dx = \int\limits^a_b f(x) \, dx + \int\limits^a_b g(x) \, dx } } }$

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{\int\limits^a_b \left[ f({x}) - g(x) \right] \, dx = \int\limits^a_b f(x) \, dx - \int\limits^a_b g(x) \, dx } } }$

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^a_b {x}^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx } }$

Aplicando a propriedade, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \cdot \int\limits^5_0 {x}^3 \, dx -\: \dfrac{1}{2} \cdot \int\limits^5_0 {x} \, dx } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{x^4}{4} \right]^5_0 -\: \dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{x^2}{2} \right]^5_0 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{5^4}{4} - \dfrac{0^4}{4} \right] -\: \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{5^2}{2} - \dfrac{0^2}{2} \right] } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{625}{4} - 0 \right] -\: \dfrac{1}{2} \cdot \left[ \dfrac{25}{2} - 0 \right] } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx = \dfrac{625}{8} -\: \dfrac{25}{4} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx = \dfrac{625}{8} -\: \dfrac{50}{8} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int\limits^5_0 \dfrac{x^3 -x}{2} \, dx = \dfrac{575}{8} }$

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