Alguém pode resolver aplicando vazão?
Três máquinas P, Q e R, trabalhando juntas fazem um trabalho em x horas. Trabalhando sozinha, P necessita de 6 horas adicionais para fazer o trabalho; Q uma hora adicional e R, x horas adicionais. Calcule o valor de x. Resposta 2/3 da hora.
Soluções para a tarefa
Vamos considerar a grandeza "eficiência" que mede a quantidade de trabalho que uma pessoa realiza num determinado tempo (ao contrário de vazão que existe mesmo, essa eu acabei de inventar. Potência seria a grandeza 'de verdade' mais próxima disso que chamei de eficiência)
Eficiência = trabalho realizado / tempo gasto
Digamos que a maquina P tem eficiência P, a maquina Q tem eficiência Q e a maquina R tem eficiência R. O ponto principal é que se varias maquinas trabalham juntas a eficiência total é a soma das eficiências individuais. Assim, no caso desse problema digamos que o trabalho a ser realizado é T. Então temos.
P,Q,R gastam x horas para realizar o trabalho T.
P+Q+R = T/x
P sozinha gasta x + 6 horas:
P = T/(x+6)
Q sozinha gasta x+1 horas
Q = T/(x+1)
R sozinha gasta x+x horas
R = T/(2x)
Assim, substituindo as 3 últimas equações na primeira obteremos:
T/(x+6) + T/(x+1) + T/(2x) = T/x
1/(x+6) + 1/(x+1) + 1/(2x) = 1/x
Agora basta resolver. Como 1/(2x) - 1/x = -1/(2x), passando o 1/x pro outro membro e tirando o mmc obteremos:
Então ficamos com
2x² + 2x + 2x² + 12x - x² - 7x - 6 = 0
3x² + 7x - 6 = 0
E as raízes são x = 2/3 e x = -3
Como x >0 a resposta é x = 2/3
Obs.: Sobre grandezas proporcionais.
Quando dizemos que a grandeza x é diretamente proporcional a y significa que ao dobramos x, também dobraremos y. Ao triplicarmos x, triplicaremos y. Em geral, ao multiplicar x por um numero "a", y também será multiplicado por a. Em outros termos, y é uma função linear de x. Ou seja, existe uma constante k tal que
y = kx
Por exemplo. Digamos que uma pessoa esta pintando um muro, e que a cada 6 minutos ela realiza a pintura de 3metros de muro. Entao se x é o tempo e y é o comprimento de muro pintando, nessa situação x é uma grandeza diretamente proporcional a x, pois quanto mais tempo passou, mais muro a pessoa pintou. E nesse caso temos y = 0.5x. A constante k = 0.5 metros/minuto indica a "velocidade" com que a pessoa esta realizando a pintura.
Isso se aplica a várias grandezas simultaneamente. Por exemplo, digamos que x,y sao diretamente proporcionais a w e que z é inversamente proporcional a w. Então existe uma constante k tal que
w = k xy/z
Por exemplo. sabemos que a quantidade n de um gás é diretamente proporcional a pressão P e ao volume V. E inversamente proporcional a temperatura T. Assim, existe uma constante k tal que
n = k PV/T
Nesse caso, k é R, a constante geral dos gases. A equação acima é o mesmo que PV = nRT, que é a equação de Clapeyron.