Question

alguém pode resolver a integral?
$\int\limits{ \frac{2x-5}{ 3x^{2}-2 } } \, dx$

Answer 1

Problema: $\int\limits { \dfrac{2x-5}{3x^2-2} } \, dx$

1) Expandindo: 

$\int\limits { \left(\dfrac{2x}{3x^2-2} - \dfrac{5}{3x^2-2\right)} } \, dx$

2) Aplicando linearidade: 

$2\int\limits { \dfrac{x}{3x^2-2} } \, dx - 5 \int\limits { \dfrac{1}{3x^2-2} } \, dx$

3) Resolvendo $\int\limits { \dfrac{x}{3x^2-2} } \, dx$

3.a) Substituindo $u = 3x^2-2 \rightarrow dx = \dfrac{1}{6x} du \rightarrow \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{u}$

4) Resolvendo ${\displaystyle\int}\dfrac{1}{u}\,\mathrm{d}u$

4.a) Isso é uma integral padrão: $= ln(u)$

5) Conectando integrais resolvidas: ${\dfrac{1}{6}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \dfrac{ln(u)}{6}$

5.a) Desfazendo a substituição $u = 3x^2-2$: $=\dfrac{\ln\left(3x^2-2\right)}{6}$

6) Resolvendo ${\displaystyle\int}\dfrac{1}{3x^2-2}\,\mathrm{d}x$

6.a) Fatorando o denominador: $={\displaystyle\int}\dfrac{3}{\left(3x-\sqrt{6}\right)\left(3x+\sqrt{6}\right)}\,\mathrm{d}x$

6.b) Fazendo a decomposição parcial da fração: $={\displaystyle\int}\left(\dfrac{3}{2\cdot\sqrt{6}\left(3x-\sqrt{6}\right)}-\dfrac{3}{2\cdot\sqrt{6}\left(3x+\sqrt{6}\right)}\right)\mathrm{d}x$

6.c) Aplicando linearidade: $={\dfrac{3}{2\cdot\sqrt{6}}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{3x-\sqrt{6}}\,\mathrm{d}x-{\dfrac{3}{2\cdot\sqrt{6}}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{3x+\sqrt{6}}\,\mathrm{d}x$

7) Resolvendo ${\displaystyle\int}\dfrac{1}{3x+\sqrt{6}}\,\mathrm{d}x$

7.a) Substituindo $u=3x+\sqrt{6} \rightarrow dx = \dfrac{1}{3} du \rightarrow = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{u}$

8) Resolvendo ${\displaystyle\int}\dfrac{1}{u}\,\mathrm{d}u$

8.a) Usando o resultado anterior: $= ln(u)$

9) Conectando integrais resolvidas: ${\dfrac{1}{3}}} <strong>9.a) </strong>Desfazendo a substituição [tex]u = 3x+ \sqrt{6} \rightarrow =\dfrac{\ln\left(3x+\sqrt{6}\right)}{3}$

10) Resolvendo ${\displaystyle\int}\dfrac{1}{3x-\sqrt{6}}\,\mathrm{d}x$

10.a) Substituindo $u= 3x- \sqrt{6} \rightarrow dx = \dfrac{1}{3} du \rightarrow \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{u}$

10.b) Usando resultado anterior: $= \dfrac{ln(u)}{3}$

10.c) Desfazendo substituição $u = 3x- \sqrt{6} \rightarrow \dfrac{\ln\left(3x-\sqrt{6}\right)}{3}$

11) Conectando integrais resolvidas: 

${\dfrac{3}{2\cdot\sqrt{6}}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{3x-\sqrt{6}}\,\mathrm{d}x-{\dfrac{3}{2\cdot\sqrt{6}}}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{3x+\sqrt{6}}\,\mathrm{d}x \\ \\\\ =\dfrac{\ln\left(3x-\sqrt{6}\right)}{2\cdot\sqrt{6}}-\dfrac{\ln\left(3x+\sqrt{6}\right)}{2\cdot\sqrt{6}}$

12) Conectando integrais resolvidas:

$\dfrac{x}{3x^2-2}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{3x^2-2}\,\mathrm{d}x \\ \\ \\ =\dfrac{\ln\left(3x^2-2\right)}{3}+\dfrac{5\ln\left(3x+\sqrt{6}\right)}{2\cdot\sqrt{6}}-\dfrac{5\ln\left(3x-\sqrt{6}\right)}{2\cdot\sqrt{6}}$

O problema está resolvido. Aplicando a função de valor absoluto aos argumentos das funções de logaritmo para ampliar o domínio da antiderivada:

${\displaystyle\int}\dfrac{2x-5}{3x^2-2}\,\mathrm{d}x \\ \\ \\ =\dfrac{\ln\left(\left|3x^2-2\right|\right)}{3}+\dfrac{5\ln\left(\left|3x+\sqrt{6}\right|\right)}{2\cdot\sqrt{6}}-\dfrac{5\ln\left(\left|3x-\sqrt{6}\right|\right)}{2\cdot\sqrt{6}}+C$

Reescrevendo/simplificando:

$=\dfrac{\ln\left(\left|3x^2-2\right|\right)}{3}+\dfrac{15\ln\left(\left|3x+\sqrt{6}\right|\right)-15\ln\left(\left|3x-\sqrt{6}\right|\right)}{6^\frac{3}{2}}+C$