Question

Alguém pode me ajudar?
Use a indução matemática para demonstrar que o resultado do somatório é válido para todo n ≥ 1:
1^3 + 2^3 + 3^3 + · · · + n^3 =(n^2(n+1)^2)/4

Answer 1

Testando para n=1:

$1^3 = \dfrac{1^2\cdot(1+1)^2}{4}$

$1 = \dfrac{4}{4}$

$1 =1$

Válido.

Agora supomos que a seguinte igualdade é verdadeira:

$\displaystyle\sum_{i = 1}^n i^3 = \dfrac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}$

Somando $(n+1)^3$ a ambos os lados:

$(n+1)^3+\displaystyle\sum_{i = 1}^n i^3 = \dfrac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$

$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n+1} i^3 = \dfrac{n^2\cdot(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$

$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n+1} i^3 = (n+1)^2\cdot\left[\dfrac{n^2}{4}+(n+1)\right]$

$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n+1} i^3 = \dfrac{(n+1)^2\cdot(n^2+4n+4)}{4}$

$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n+1} i^3 = \dfrac{(n+1)^2\cdot(n^2+2\cdot2\cdot n+2^2)}{4}$

$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n+1} i^3 = \dfrac{(n+1)^2\cdot(n+2)^2}{4}$

É válido para (n+1). Está demonstrada a propriedade.