alguem pode me ajudar?
(UFMT) Sejam -2 e 3 duas das raízes da equação 2x³ - x² + kx + t onde k e t pertencem ao conjunto dos números reais. A terceira raiz é:
Soluções para a tarefa
Resposta:
A terceira raiz é -1/2.
Explicação passo-a-passo:
Substituindo as duas raízes que são dadas na equação
2x³ - x² + kx + t = 0
x = -2
x = 3
2.(-2)³-(-2)²+k(-2)+t = 0
-16 - 4 -2k + t = 0
I) -2k + t - 20 = 0
2.3³-3²+3k+t = 0
54-9+3k+t = 0
II) 3k + t + 45 = 0
Agora com as duas expressões é só montar um sistema de equações para descobrir k e t
I) -2k + t = 20
II) 3k + t = -45
t = 20 + 2k
3k + 20 + 2k = -45
5k = -65
k = -65/5
k = -13
t = 20 + 2k
t = 20 - 26
t = -6
Agora substituindo na equação, temos:
2x³-x²-13x-6=0
Fazendo a fatoração
2x³+x²-2x²-x-12x-6=0
x²(2x+1)-x.(2x+1)-6.(2x+1)=0
(x²-x-6).(2x+1)=0
(x²+2x-3x-6).(2x+1)=0
(x.(x+2)-3.(x+2)).(2x+1)=0
(x-3).(x+2).(2x+1)=0
Aí temos as 3 raízes, as que já tínhamos
x-3 = 0
x = 3
x+2 = 0
x = -2
E a terceira que faltava
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2