Question

Alguém pode me ajudar?? Sabendo que x é um arco pertencente ao segundo quadrante e que tg x = -5/12, o valor da sec x é, aproximadamente:

A) 1,08
B) -0,38
C) 0,9
D) -1,08

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação trigonométrica

Temos que: $\sf{ \tan(x)~=~-\dfrac{5}{12} }$

Sendo que: $\sf{ \pink{ x\in IIQ } }$, determinar o valor de: $\sf{ \sec(x) }$

Perceba que: $\sf{ \tan(x)~=~ \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} }$

Então: $\sf{ \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}~=~-\dfrac{5}{12} }$

Sendo também que: $\sf{ \sec(x)~=~\dfrac{1}{\cos(x)} }$

Logo a secante de x, depende o valor do co-seno de x. Vamos achar a co-seno de x :$\iff \sf{ \sin(x)~=~-\dfrac{5\cos(x)}{12} }$

Pela relação fundamental da trigonometria, temos que :$\purple{ \sf{ \sin^2(x) + \cos^2(x)~=~1 } }$

$\iff \sf{ \left( -\dfrac{5\cos(x)}{12}\right)^2 + \cos^2(x)~=~ 1 }$

$\iff \sf{ \dfrac{25}{144}*\cos^2(x) + \cos^2(x)~=~ 1 }$

$\iff \sf{ \left( \dfrac{25}{144} + 1\right)\cos^2(x)~=~1 }$

$\iff \sf{ \left( \dfrac{25}{144} + \dfrac{144}{144}\right)\cos^2(x)~=~1 }$

$\iff \sf{ \dfrac{169}{144}*\cos^2(x)~=~ 1 }$$\iff \sf{ \cos^2(x)~=~ \dfrac{144}{169} }$

$\iff \sf{ \cos(x)~=~ \pm \sqrt{ \dfrac{144}{169} } }$

$\iff \sf{ \cos(x)~=~ \pm \dfrac{12}{13} }$

Note que: se $\sf{ x \in II.Q }$, logo :$\purple{ \iff\boxed{ \sf{ \cos(x)~=~-\dfrac{12}{13} } } }$

Achando a secante de x :

Lembrar que :$\iff \sf{ \sec(x)~=~ \dfrac{1}{\cos(x)} }$

$\iff \sf{ \sec(x)~=~ \dfrac{1}{-\frac{12}{13}} }$$\iff \sf{ \sec(x)~=~ -\dfrac{13}{12} }$

$\green{ \iff \boxed{\boxed{ \sf{ \sec(x)~\approx ~-1,08 } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Alternativa D)

Espero ter ajudado bastante!)