Question

Alguém pode me ajudar? Questão sobre PA e PG
Considere as afirmações:
I) Na PA (x1, x2, x3,...) temos que x3 - x2 = x2 - x1 = 3;
II) A PG (y1, y2, y3,...) é crescente;
iii) x2=y3;
iv) x10=y5;
v) x42=y7.
Calcule a diferença entre y4 e x4.

Answer 1

I) 3 é o razão da PA, de tal forma que podemos escrevê-la como

{x-3,x,x+3...}

Ou seja,

x1=x+3

x2=x

x3=x+3

Então

PA {x2-3,x2,x2+3...}

II) se é crescente, sabemos que a razão é maior que zero. Chamarei-a de q

III) como x2=y3 , podemos reescrever a PA como { y3-3,y3,y3+3...}

IV) Coloquemos x10 e y5 em função de y3

x10=x2+8R

x10=y3+8.3

x10=y3+24

y5= y3.q²

Igualando

x10=y5

y3+24=y3.q²

V) Mesmo processo da IV

x42=x2+40R

x42=y3+40.3

x42=y3+120

y7=y3.$q^{4}$

Igualando

x42=y7

y3+120=y3.$q^{4}$

Perceba que temos duas equações e podemos montar um sistema

$\left \{ {{y3+24=y3.q^{2} } \atop {y3+120=y3.q^{4} }} \right.$

Isolando q nas duas equações

$\frac{y3+24}{y3}$=q²

$\frac{y3+120}{y3}$ = $q^{4}$

Elevando a primeira equação ao quadrado, para também termos $q^{4}$

$(\frac{y3+24}{y3}) ^{2}$= (q²)²

$\frac{(y3)^{2} + 48y3+576}{(y3)^{2} }$ = $q^{4}$

Igualando a primeira e a segunda equação em função do $q^{4}$

$\frac{(y3)^{2} +48y3+576 }{(y3)^{2} }$ = $\frac{y3+120}{y3}$

Simplificando os dividendos

(y3)²+48y3+576=y3(y3+120)

(y3)²+48y3+576= (y3)²+120y3

576=72y3

y3=8

Para achar o q, basta substituir o y3 em algumas das duas equações do sistema

$\frac{y3+24}{y3}$=q²

$\frac{8+24}{8}$=q²

4=q²

q=2

Posto isso, podemos achar y4 e x4

y4=y3.q

y4=8.2

y4=16

x4=x2+2R

x4=y3+2.3

x4=8+6

x4=14

Por fim, fazendo a diferença entre os dois :

y4-x4= 16-14=2

Bons estudos!