Question

alguem pode me ajudar porfavor NESSE TRABALHO CHATO DE MATEMATICA Q VALE 2,5 PORFAVOR!!!!!!!
E sobre geometria analitica PONTO E RETA!!! Eu so n quero deixar em branco pfvr me ajudem

1) calcule a distancia entre os pontos;



a) A(1,5) e B(3,11)

B) C(6,2) e D(-6,7)

C) e( 6,2) e D(-6,7)

D) G(2,1) e H(0,-1/2)

2) sabendo q em cada item os pontos indicados representam os vértices de um triângulo equilátero, determine as coordenadas do ponto C.


a) A(0,2), B(0,8) e C(Xc,Yc)
b) A(0,0),BV3,-1) e C(Xc,Yc)


3)sabendo os pontos A(5,4),B(-3,2) e C(-2,-2) sao vertices do retangulo ABCD , determine as coordenadas do vertice

a)vertice D
b)ponto de intersecçao das diagonais

4)determine as coordenadas do baricentro do triangulo de vertices
a) A(7,-1) , B(4,4) e C(-2,3)
b) A(-5,0) B(2,-6) e C(8,6)
c) A(9,-4), b(1/3,15) e C (-7,-2)

5)verifique se os pontos dados em cada item sao colineares:

A) A(2,8), b(-4,0) e C(-1,4)
B) D(1,-3), E(1,3) e F(6,1)

6) se os pontos A(3,-3), B(z,w) e C(-1,4) pertencem a reta R , que intersecta o eixo das ordenadas exatamente no ponto B , qual deve ser o valor de z e w?

Answer 1

Olá

Questão 1

Lembrando que dados dois pontos A = ($x_{1} , y_{1}$) e B = ($x_{2}, y_{2}$) temos que d(A,B) = $\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}$

a) d(A,B) = $\sqrt{(3-1)^{2} + (11-5)^{2}} = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

b) d(C,D) = $\sqrt{(-6-6)^{2} + (7-2)^{2}} = \sqrt{(-12)^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$

c) Igual a letra b)

d) d(G,H) = $\sqrt{(0-2)^{2} + ( \frac{-1}{2} - 1)^{2} } = \sqrt{(-2)^{2} + ( \frac{-3}{2})^{2} } = \sqrt{4 + \frac{9}{4} } = \sqrt{ \frac{25}{4} } = \frac{5}{2}$

Questão 2

Lembrando que um triângulo equilátero possui todos os lados com a mesma medida. Logo, d(A,B) = d(A,C) = d(B,C)

a) d(A,B) = $\sqrt{(0-0)^{2} + (8-2)^{2}} = \sqrt{6^{2}} = 6$

d(A,C) = $\sqrt{(x_c)^{2} + (y_c -2)^{2}} = 6$
$x_c^{2} + y_c^{2} - 4y_c + 4 = 36$

d(B,C) = $\sqrt{x_c^{2} + (y_c - 8)^{2}} = 6$
$x_c^{2} + y_c^{2} - 16y_c + 64 = 36$

$x_c^{2} + y_c^{2} - 4y_c + 4$ = $x_c^{2} + y_c^{2} - 16y_c + 64$
$12y_c = 60$
$y_c = 5$

Substituindo $y_c$ em $\sqrt{(x_c)^{2} + (y_c -2)^{2}} = 6$ :

$x_c^{2} + (5-2)^{2}$ = 36 
$x_c^{2} + 9 =36$
$x_c^{2} = 27$
$x_c$ = 3 $\sqrt{3}$ ou -3 $\sqrt{3}$

Logo C=(3$\sqrt{3}$,5) ou C =(-3$\sqrt{3}$,5)

b) d(A,B) = $\sqrt{( \sqrt{3}-0)^{2} + (-1-0)^{2} } = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$
d(A,C) = $\sqrt{x_c^{2} + y_c^{2} = 2$
d(B,C) = $\sqrt{(x_c - \sqrt{3})^{2} + (y_c + 1) ^{2}} = 2$

$x_c^{2} + y_c^{2} = x_c^{2} -2 \sqrt{3} x_c + 3 + y_c^{2} + 2y_c + 1$
$-2 \sqrt{3} x_c + 3 = -2y_c -1$
$-2 \sqrt{3} x_c +4 = -2y_c$
$y_c = \sqrt{3} x_c - 2$

Substituindo em $\sqrt{x_c^{2} + y_c^{2} = 2$ :
$x_c^{2} + 3x_c^{2} -4 \sqrt{3}x_c + 4 = 4$
$4x_c^{2} - 4 \sqrt{3} x_c = 0$
$4x_c(x_c - \sqrt{3} ) = 0$
$x_c = 0$ ou $x_c = \sqrt{3}$

Se $x_c = 0$, então $y_c = -2$
Se $x_c = \sqrt{3}$ então $y_c = 1$

Portanto, C=(0,-2) ou C =($\sqrt{3}$,1)

Questão 3

a) Temos que BC = AD
C - B = D - A
D = A - B + C
D = (5,4) - (-3,2) + (-2,-2)
D = (5,4) + (3,-2) + (-2,-2)
D = (8,2) + (-2,-2)
D = (6,0)

b) O ponto de interseção será o ponto médio de uma das diagonais.
Sendo A = ($x_{1} , y_{1}$) e B = ($x_{2}, y_{2}$) temos que P = ($\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}$)
Ou seja, com a diagonal AC:
P = ($\frac{-2+5}{2} , \frac{-2+4}{2}$) = ($\frac{3}{2} ,1$)

Questão 4

Seja A = ($x_{1} , y_{1}$), B = ($x_{2}, y_{2}$) e C = ($x_3, y_3$) e  temos que o baricentro é igual a 

G = ($\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} , \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$)

a) G = ($\frac{7 + 4 + (-2)}{3} , \frac{(-1) + 4 + 3}{3}$) = ($\frac{9}{3} , \frac{6}{3}$) = (3,2)

b) G = ($\frac{(-5) + 2 + 8}{3}, \frac{0 + (-6) + 6}{3}$) = ($\frac{5}{3},0$)

c) G = ($\frac{9 + \frac{1}{3} + (-7) }{3} , \frac{(-4) + 15 + (-2)}{3}$) = ($\frac{7}{9} , \frac{9}{3}$) = ($\frac {7}{9}$,3)

Questão 5 
Os pontos serão colineares se o determinante for igual a 0

a)     |2 8 1|
det =|-4 0 1| = 2(4) - 8(-4+1) + 1(-16) = -8-8(-3)-16 = -24 + 24 = 0
        | -1 4 1| 
Logo os pontos são colineares

b)      |1 -3 1|
det = |1 3 1 | = 1(3-1) + 3(1-6) + 1 (1 - 18) = -30
         |6 1 1 |
Logo os pontos não são colineares.

Questão 6
Como a reta r intersecta o eixo das ordenadas no ponto B, então temos que z = 0.

Construindo a reta r:
A reta tem a seguinte forma: y = ax + b
Substituindo os pontos A e C obtemos:
$\left \{ {{3a + b = 3} \atop {-a + b = 4}} \right.$

Multiplicando a segunda equação por -1 e somando com a primeira obtemos:

$\left \{ {{3a+b=3} \atop {a-b=-4}} \right.$
4a = -1
a = $\frac {-1}{4}$

Daí, 3.$\frac {-1}{4}$ + b = 3
b = 3 + $\frac {3}{4}$
b = $\frac {15}{4}$

Logo, r : y = $\frac{-x+15}{4}$

Substituindo o ponto B na reta r obtemos: w = $\frac {15}{4}$