Alguém pode me ajudar por favor, valendo 10 pontos
Soluções para a tarefa
Resposta:
O ínfimo é 2 d)
Explicação passo-a-passo:
Pedido :
Dado o conjunto D = { x ∈ R/ ( x - 2 ) / ( - x + 3 ) > 0 } , o seu ínfimo é:
a ) 1
b ) - 2
c ) 3
d ) 2
e ) 0
Resolução :
Como não temos nenhum conjunto para analisar temos que encontrar o conjunto que seja a solução da inequação.
( x - 2 ) / ( - x + 3 ) > 0
Quando se resolvem condições em que entram expressões com " x " no denominador tem que se indicar uma restrição
que é o denominador não pode ser igual a zero. Divisão por zero não é aceitável em R .
Neste caso ( - x + 3 ) tem que ser diferente de zero.
Logo - x +3 ≠ 0 ⇔ - x ≠ -3 ⇔ x ≠ 3.
Fica determinado o domínio condição ( x - 2 ) / ( - x + 3 ) > 0,
que será R \ { 3 } e que se lê : todos os números reais exceto
o 3.
Resolvendo a inequação
Atendendo que tem uma fração com expressão em "x" no numerador e no denominador, vou resolver através de uma tabela.
Já se viu que 3 é zero de " - x + 3 ".
Procuremos o zero para " x - 2 "
x - 2 = 0 ⇔ x = 2
Esta é a tabela aonde vamos estudar o sinal que a fração ( x - 2 ) / ( - x + 3 ) tem significado.
x | - ∞ | 2 | | 3 | + ∞
----------|-----------------|-----|---------|------|--------------
x - 2 | - | 0 | + | | +
----------|-----------------|-----|---------|----- |---------------
- x + 3 | + | + | + | 0 | -
---------|------------------|-----|---------|------|---------------
Q | - | 0 | + | ss | -
↑
A fração ( x - 2 ) / ( - x + 3 ) é positiva, logo > 0 ,neste intervalo apenas
Legenda da tabela:
Q ( quociente) ( x - 2 ) / ( - x + 3 )
ss - sem significado ( dividir por zero não tem significado)
Quando se constrói tabelas as raízes ( ou zeros) na 1ª linha ficam por ordem crescente.
O modo de se encontrar os sinais nestes intervalos é muito simples.
Dá só um pouco de trabalho. E esta tabela é das mais simples.
Caso de ( x - 2 )
Peguemos num número real menor que 2, para ver que sinal tem ( x - 2 ) entre ] - ∞ , 2 [. Por exemplo zero.
( 0 - 2 ) = - 2 negativo
Peguemos agora em valores reais maior que 2, para ver que sinal tem ( x - 2 ) entre ] 2 , + ∞ [ . Por exemplo 2,3 ou 4
( 2,3 - 2 ) = + 0,2 positivo
( 4 - 2 ) = + 2 positivo
Caso de ( - x + 3 )
Peguemos num número real menor que 3, para ver que sinal tem ( - x + 3 ) entre ] - ∞ , 3 [. Por exemplo zero.
( 0 + 3 ) = + 3 → positivo
Peguemos agora em um valor real maior que 3, para ver que sinal tem ( - x + 3 ) entre ] 3 , + ∞ [ . Por exemplo 4
( - 4 + 3 ) = - 1 negativo
Pelo sinal estudado para o quociente ( x - 2 ) / ( - x + 3 ) > 0 o intervalo ] 2 ; 3 [ ← é aquele em que ( x - 2 ) / ( - x + 3 ) > 0 .
E vai ser sobre ele que vamos agora colocar a nossa atenção.
Estão a perguntar sobre o ínfimo.
" 2 " é aquele valor que é menor que todos os outros do intervalo em estudo.
Será pois 2 o ínfimo .
E o ínfimo pode até não pertencer ao conjunto, o que é neste caso.
Sinais : ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a ( > ) maior que ( ≠ ) diferente de
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.