Question

Alguém pode me ajudar, por favor?

Um retângulo de base x está inscrito em uma circunferência de raio 2. Qual a expressão da área A do retângulo em funcão de x?

Answer 1

DG = GE = x/2, GI = a e FH = b.

a + b = 4

e podemos descobrir por potência de ponto:

GI × GH = DG × GE

ab = x/2 × x/2

ab = x²/4

Então temos que:

a + b = 4

ab = x²/4

Podemos montar uma equação com essas informações onde a e b são raízes e a < b.

k² - Soma.k + Produto = 0

k² - 4k + x²/4 = 0

k² - 4k = - x²/4

k² - 4k + 4 = - x²/4 + 4

(k - 2)² = (16 - x²)/4

k - 2 = ± √(16 - x²)/√4

k - 2 = ± √(16 - x²)/2

k = 2 ± √(16 - x²)/2

k = [4 ± √(16 - x²)]/2

Então, por a < b:

a = [4 - √(16 - x²)]/2

Assim, altura do retângulo será:

Diâmetro - 2a

4 - 2 × [4 - √(16 - x²)]/2

4 - [4 - √(16 - x²)]

4 - 4 + √(16 - x²)

√(16 - x²)

Temos a base e altura, a área será:

Área = base × altura

Área = √(16 - x²) × x

Área = x√(16 - x²)

Resposta: x√(16 - x²)