Matemática, perguntado por nicolyenseadaouuu0s, 9 meses atrás

Alguém pode me ajudar por favor!!!

lim x-> 2 (x³-7x²+10x)/(x²+x-6)

Escolha uma:

a. 5
b. -6/5
c. 1/7
d. 2/3
e. 6/5

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii

Temos o seguinte limite:

$\sf \lim_{x\longrightarrow2} \frac{x {}^{3} - 7x {}^{2} + 10x}{x {}^{2} + x - 6} \\$

A primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor a qual o "x" tende para assim observar uma certa coisa.

$\sf \frac{x {}^{3} - 7x {}^{2} + 10x }{x {}^{2} + x - 6} = \frac{2 {}^{3} - 7.2 {}^{2} + 10.2 }{2 {}^{2} + 2 - 6} = \frac{8 - 7.4 + 20}{0} = \frac{28 - 28}{0} = \frac{0}{0} \\$

Se você notar, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo 0/0, então teremos que fazer alguma manipulação algébrica de forma a remover essa indeterminação.

A primeira saída é a utilização da regra de L'Hôpital, já a segunda é usando algebrismo.

Vamos fazer pela pior maneira, ou seja, através de algebrismo. Primeiro vamos fatorar a expressão do numerador, para isso vamos observar que o "x" tende a 2 sendo esse tal 2 a raiz da expressão, ou seja, podemos usar Briot-ruffini para fatorar.

$\sf x {}^{3} - 7x {}^{2} + 10x \\ \sf\begin{array}{c|c} \sf2& \sf 1& \sf- 7& \sf 10 \\ \sf & \sf1& \sf - 5 & \sf 0 \end{array} \\ \sf (x {}^{2} - 5x).(x - 2)$

Essa é a forma fatorada, agora vamos fatorar a expressão do denominador.

$\sf x {}^{2} + x - 6 = 0 \: \: \\ \sf \Delta = 1 {}^{2} - 4.1.( - 6) \\ \sf \Delta = 25 \\ \\ \sf x_1 = \frac{ - 1 + 5}{2} = 2 \\ \\ \sf x_2 = \frac{ - 1 - 5}{2 } = - 3$

Então a forma fatorada é:

$\sf (x - 2).(x + 3)$

Substituindo as expressões nos seus devidos locais:

$\sf \frac{(x - 2).(x {}^{2} - 5x)}{(x - 2).(x + 3)} = \boxed{\sf \frac{x {}^{2} - 5x}{x + 3} } \\$

Então temos que a nova expressão que devemos usar será essa que está destacada, certamente sumimos a indeterminação, então vamos substituir o valor a qual o "x" tende, ou seja, 2.

$\sf \frac{x {}^{2} - 5x}{x + 3} = \frac{2 {}^{2} - 5.2}{2 + 3} = \boxed{ \sf- \frac{6}{5} } \\$

Então podemos concluir que:

$\boxed{\sf \lim_{x\longrightarrow2} \frac{x {}^{3} - 7x {}^{2} + 10x}{x {}^{2} + x - 6} = - \frac{6}{5}} \\$

Espero ter ajudado

Respondido por Nerd1990

$lim_{x->2} \frac{ (x³-7x²+10x)}{(x²+x-6)}$

Avalie os limites do numerador e denominador separadamente.

Avalie os limites do numerador e denominador separadamente.Sendo assim...

$lim_{x->2} (x³-7x²+10x) \\ </p><p>lim_{x->2} (x²+x-6)$

Calcule os limites

Calcule os limitesSendo assim...

$0 \\ 0$

Dado a expressão

$\frac{0}{0}$

É indeterminada, tente transformar a expressão.

Sendo assim...

$lim_{x->2} (\frac{ (x³-7x²+10x)}{(x²+x-6)})$

Coloque o fator x em evidência na expressão. Escreva x como uma diferença.

Coloque o fator x em evidência na expressão. Escreva x como uma diferença.Sendo assim...

$lim_{x->2} \frac{x \times (x {}^{2} - 7x + 10x)}{x {}^{2} + 3 x - 2x - 6 }$

Escreva -7x como uma diferença.

Escreva -7x como uma diferença.Coloque o fator x em evidência.

Escreva -7x como uma diferença.Coloque o fator x em evidência.Coloque o fator -2 em evidência na equação.

Escreva -7x como uma diferença.Coloque o fator x em evidência.Coloque o fator -2 em evidência na equação.Sendo assim...

$lim_{x->2} (\frac{x \times (x {}^{2} - x - 5x - 10)}{x \times (x + 3) - 2(x + 3)})$

Coloque o fator x em evidência na expressão.

Coloque o fator x em evidência na expressão.Coloque o fator -5 em evidência na expressão.

Coloque o fator x em evidência na expressão.Coloque o fator -5 em evidência na expressão.Coloque o fator +3 em evidência na expressão.

Coloque o fator x em evidência na expressão.Coloque o fator -5 em evidência na expressão.Coloque o fator +3 em evidência na expressão.Sendo assim...

$lim_{x->2} (\frac{x \times (x \times ( x - 2) - 5( x - 2))}{(x + 3) \times (x + 2)}$