Question

Alguém pode me ajudar por favor? É urgente !

Encontre o plano tangente à superfície f(x,y) = x.cos(y) em (1,0,1)

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em cálculo multivariável.

Seja a superfície $S$ dada pela função de duas variáveis $f(x,~y)=x\cdot \cos(y)$. Devemos calcular a equação do plano tangente à superfície $S$ no ponto $(1,~0,~1)$.

Primeiro, lembre-se que a equação do plano tangente a uma superfície em um ponto de seu domínio é calculado a partir de suas derivadas parciais.

Seja $z=f(x,~y)$, a equação do plano tangente à superfície no ponto $(x_0,~y_0,~z_0)$ é dada por: $z-z_0=f_x\cdot(x-x_0)+f_y\cdot(y-y_0)$, em que $f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,~y_0)$ e $f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,~y_0)$.

Então, calculamos as derivadas parciais da função:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x\cdot \cos(y))$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis em respeito à uma de suas variáveis é calculada considerando o restante das variáveis como constante.
• Com isso, vale que $\dfrac{\partial}{\partial x}(g(y))=0$.
• A derivada de uma potência é calculada de acordo com a regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.

Aplique a regra da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(y)\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)$

Calcule a derivada da potência, sabendo que $x=x^1$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(y)\cdot1\cdot x^{1-1}$

Some os valores no expoente e, lembrando que $x^0=1$, multiplique os termos

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(y)\cdot1\cdot x^0\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(y)}$

Então, calcule a derivada parcial em respeito à variável $y$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x\cdot \cos(y))$

Aplique a regra da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(\cos(y))$

Calcule a derivada da função cosseno

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cdot(-\sin(y))$

Multiplique os termos

$\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}=-x\sin(y)}$

Substitua estes resultados na equação do plano tangente

$z-1=\cos(0)\cdot(x-1)+(-1\cdot\sin(0))\cdot(y-0)$

Sabendo que $\cos(0)=1$ e $\sin(0)=0$, multiplique e some os termos

$z-1=1\cdot(x-1)+0\cdot y\\\\\\ z-1=x-1$

Some $1$ em ambos os lados da igualdade

$z=x$

Esta é a equação do plano tangente à superfície $S:f(x~y)=x\cdot\cos(y)$ no ponto $(1,~0,~1)$. Observe a imagem em anexo.

Answer 2

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: x - z = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

     $\Large\begin{cases} f(x, y) = x\cdot\cos(y)\\P = (1, 0, 1)\end{cases}$

Organizando a equação, temos:

      $\Large\begin{cases} s: x\cdot\cos(y) - z = 0\\P = (1, 0, 1)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície devemos ter um ponto pertencente à superfície e um vetor normal passando pelo ponto, ou seja:

       $\Large\begin{cases} P = (X_{P},\,Y_{P},\,Z_{P})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n},\,Y_{n},\,Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

• Verificar se o ponto "P" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação da superfície. Então, temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot\cos(0) - 1 = 0\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot1 - 1 = 0\end{gathered}$  

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

         Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o   ponto "P" pertence à referida superfície. Então, podemos continuar com os cálculos.

• Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "x".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = 1\cdot x^{1 - 1}\cdot\cos(y) = \cos(y)\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "y".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = x\cdot\left[-\sin(y)\right] = -x\cdot\sin(y)\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "z".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\cdot z^{0} = -1\cdot 1 = -1\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla s(x, y, z) = \left(\frac{\partial s}{\partial x},\,\frac{\partial s}{\partial y},\,\frac{\partial s}{\partial z}\right)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (\cos(y),\,-x\cdot\sin(y),\,-1)\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla s(x, y, z)= (\cos(y),\,-x\cdot\sin(y),\,-1)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal do plano pelo ponto "P".

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "P", ou seja:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla s(P)\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (\cos(0),\,-1\cdot\sin(0),\,-1)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1, 0, -1)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\pi}} = (1, 0, -1)\end{gathered} }$

• Montar a equação do plano tangente.

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "P" quanto as coordenadas do vetor "n" na equação "I" temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1\cdot x + 0\cdot y + (-1)\cdot z = 1\cdot1 + 0\cdot0 + (-1)\cdot1\end{gathered}$

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x - z = 1 - 1\end{gathered}$

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x - z = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral do plano tangente é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: x - z = 0\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura: