Question

Alguém pode me ajudar por favor

Determine o argumento do número complexo z= -3 -4i

Answer 1

Temos o seguinte número complexo:

$\sf z = - 3 - 4i$

• Sabemos que um número complexo em sua forma algébrica possui uma parte real e uma parte imaginária, sendo a parte real o número que não contém (i) e a parte imaginária a parte que contém (i), portanto em nosso número complexo temos que:

$\sf z = - 3 - 4i \rightarrow \begin{cases} \sf a = - 3 \\ \sf b = - 4 \end{cases}$

Tendo encontrado (a) e (b) vamos partir para o cálculo do módulo e argumento desse número.

• Módulo:

O módulo é a distância da origem no plano de Argand-Gauss até o afixo (coordenada), esse tal módulo pode ser calculado através da relação pitagórica.

$\sf \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } \\ \sf \rho = \sqrt{( - 3) {}^{2} + ( - 4) {}^{2} } \\ \sf \rho = \sqrt{9 + 16} \\ \sf \rho = \sqrt{25} \\ \boxed{ \sf \rho = 5} \leftarrow \sf m \acute{o}dulo$

• Argumento:

É o ângulo formado em relação ao eixo real (x), ele pode ser calculado através das relações seno e cosseno.

$\sf sen \theta = \frac{b}{ \rho} \: \: \: e \: \: \: cos \theta = \frac{a}{ \rho}$

Substituindo os dados:

$\sf sen \theta = \frac{ - 4}{5} = - \frac{4}{5} \\ \\ \sf cos \theta = \frac{ - 3}{5} = - \frac{3}{5}$

Note que esses valores são bem diferentes do comum, portanto será um pouco trabalho para encontrar esse ângulo.

1. Primeiro desenhe o plano de Argand-Gauss e destaque o valor real e imaginário que possuímos em seu devido eixo.
2. Traçe a linha do módulo, ou seja, a linha que parte da origem e se estende até o afixo.
3. Desenhe no plano o ângulo em relação ao eixo "x", ou seja, adjacente a ele.

Para encontrar o ângulo, vamos usar a tangente.

$\sf tan \theta = \frac{b}{a} \\ \sf tan \theta = \frac{ - 4}{ - 3} \\ \sf tan \theta = \frac{4}{3} \\ \sf \theta = arctan \left( \frac{4}{3} \right) \\ \sf \theta = 53.1301023542 \\ \boxed{\sf\theta \approx 53 {}^{ \circ} }$

Portanto temos que o argumento vale 53°.

Espero ter ajudado