Question

Alguém pode me ajudar por favor

Derive x

Escolha uma:

a. 2x
b. 5x
c. 1
d. 4x
e. x

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{c)~1}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a derivada de uma potência, devemos relembrar a fórmula utilizada.

Pela definição de derivada, temos que $f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\dfrac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}$

Então, seja a função $f(x)=x^n$, isto é, a n-ésima potência de $x$.

Substituindo esta função no limite, temos

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\dfrac{(x+\Delta{x})^n-x^n}{\Delta{x}}$

Para calcularmos a expansão binomial, lembre-se que

$(a+b)^n=\displaystyle{\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}\cdot a^{n-p}\cdot b^p$, tal que $p$ é um número natural que varia de $0$ até $n$ e o número binomial $\displaystyle{\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}}$. Teremos então:

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\dfrac{\displaystyle{\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}\Delta{x}+\binom{n}{2}\cdot x^{n-2}\Delta{x}^2+\cdots-x^n}}{\Delta{x}}}$

Calculando os números binomiais pela fórmula descrita acima, sabendo que $0! =1!=1$ e $n!=n\cdot (n-1)!$, temos:

$\displaystyle{\binom{n}{0}=\dfrac{n!}{0!\cdot(n-0)!}=\dfrac{n!}{n!}=1}\\\\\\ \displaystyle{\binom{n}{1}=\dfrac{n!}{1!\cdot(n-1)!}=\dfrac{n\cdot(n-1)!}{(n-1)!}=n}\\\\\\ \displaystyle{\binom{n}{2}=\dfrac{n!}{2!\cdot(n-2)!}=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{2\cdot1\cdot(n-2)!}=\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}$

Substituindo estas expressões na definição, ficamos com

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\dfrac{\displaystyle{x^n+n\cdot x^{n-1}\Delta{x}+\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}\cdot x^{n-2}\cdot\Delta{x}^2+\cdots-x^n}}{\Delta{x}}}$

Cancele os termos opostos

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\dfrac{\displaystyle{n\cdot x^{n-1}\Delta{x}+\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}\cdot x^{n-2}\Delta{x^2}+\cdots}}{\Delta{x}}}$

Simplifique a fração por $\Delta{x}$

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~n\cdot x^{n-1}+\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}x^{n-2}\Delta{x}+\cdots$

Como $\Delta{x}\rightarrow0$, temos que

$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

Então, para derivarmos a função $f(x)=x$, devemos utilizar $n=1$. Ficaremos com

$f'(x)=1\cdot x^{1-1}$

Some os valores no expoente

$f'(x)=1\cdot x^{0}$

A potência $x^0$ é igual a 1, logo

$f'(x)=1$

Esta é a derivada da função e é a resposta contida na letra c).