Question

Alguém pode me ajudar, por favor? Derivadas Parciais
a) f(x,y) = e^x²(x²+y²)
b)f(x,y) = 1/raiz de 9-x²-y²-z²

Answer 1

⇒As derivadas parciais são:

$\mathbf{a)} f( x,y) =e^{x^{2}}\left( x^{2} +y^{2}\right) \Longrightarrow \begin{cases}D_{x} f=2xe^{x^{2}}\left( x^{2} +y^{2} +1\right)\\D_{y} f=2ye^{x^{2}}\end{cases}$

$\mathbf{b)} f( x,y,z) =\frac{1}{\sqrt{9-x^{2} -y^{2} -z^{2}}} \Longrightarrow \begin{cases}D_{x} f=x\cdotp \left( 9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\\D_{y} f=y\cdotp \left( 9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\\D_{z} f=z\cdotp \left( 9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\end{cases}$

$\blacksquare$ Quando derivamos parcialmente uma função de mais de uma variável,  todas as outras as variáveis são consideradas constantes, e derivamos normalmente em relação a uma das variáveis.

$\blacksquare$ A) Se $f(x,y)=e^{x^2}(x^2+y^2)$, a derivada parcial em relação a x é:

$D_{x} f=D_{x}\left( e^{x^{2}}\right) \cdotp \left( x^{2} +y^{2}\right) +e^{x^{2}} \cdotp D_{x}\left( x^{2} +y^{2}\right) \ \ \ (\text{Regra\ do\ produto})$

$\blacksquare$ Para a derivada de $e^{x^2}$, usamos a regra da cadeia

$\Large{\boxed{D(fog)=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

note que temos f(g(x)), em que $f(x)=e^{g(x)}$ e $g(x)=x^2$. A derivada de $f(x)=e^{x}$ é $f'(x)=e^x$ e a derivada de $g(x)=x^2$ é $g'(x)=2x$. Então a derivada de $f(g(x))=e^{x^2}$ é $f'g(x)\cdot g'(x)=e^{x^2}\cdot 2x= 2xe^{x^2}$

A derivada de $(x^2+y^2)$ é 2x, ou seja, a variável é considerada constante, e a derivada de uma constante é zero. Assim,

$\Large \begin{array}{l}D_{x} f=2xe^{x^{2}} \cdotp \left( x^{2} +y^{2}\right) +e^{x^{2}} \cdotp 2x\\\\\Longrightarrow \boxed{\boxed{D_{x} f=2xe^{x^{2}}\left( x^{2} +y^{2} +1\right)}}\end{array}$

E a derivada parcial em relação a y é,

$D_{y} f=D_{y}\left\{e^{x^{2}}\left( x^{2} +y^{2}\right)\right\}$

A derivada de uma função na forma $f(x)=ax$ é $f'(x)= a$. O termo $e^{x^2}$ não tem y, então é considerado constante, e precisamos derivar apenas $(x^2+y^2)$. Como $x^2$ é constante, quando derivamos em relação a y, segue que:

$\Large \begin{array}{l}D_{y} f=e^{x^{2}} D_{y}\left( x^{2} +y^{2}\right)\\\\\Longrightarrow D_{y} f=e^{x^{2}} \cdotp 2y\\\\\Longrightarrow \boxed{\boxed{D_{y} f=2ye^{x^{2}}}}\end{array}$

$\blacksquare$ B) Seja $f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{9-x^2-y^2-z^2}}$.

Podemos reescrever a função como $f(x,y,z)=(9-x^2-y^2-z^2)^{-\frac{1}{2}}$.

Assim, a derivada parcial de f em relação a x é:

$\begin{array}{l}D_{x} f=-\frac{1}{2} \cdotp \left( 9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdotp D_{x}\left\{9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right\} \ \ \ [\text{Regra\ da\ cadeia}]\\\\\Longrightarrow D_{x} f=-\frac{\left( 9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}}{2} \cdotp ( -2x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [ \because \text{So\ nos\ interessa\ a\ variavel\ x}]\\\\\Longrightarrow \boxed{\boxed{D_{x} f=x\cdotp \left( 9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}}}\end{array}$

De maneira análoga, as derivadas parciais em relação a y e z são:

$\boxed{\boxed{D_{y} f=y\cdotp \left( 9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}}}$

e

$\boxed{\boxed{D_{z} f=z\cdotp \left( 9-x^{2} -y^{2} -z^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}}}$

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