Question

Alguém pode me ajudar nesta questão?

a) Se z1 = cosθ1 + i.senθ1 e z2 = cosθ2 + i.senθ2, mostre que o produto z1z2 é igual a cos(θ1 + θ2) + i.sen(θ1 + θ2).


b) Mostre que o número complexo z = cos48º + i.sen48º é raiz da equação z^10 + z^5 + 1 = 0.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

z = cos48º + i.sen48º

z^10 = cos480º + i.sen480º

z^10 = cos120º + i.sen120º

z^10 = -cos60º + i.sen60º

====/////=====

z^5 = cos240º + i.sen240º

z^5 = -cos60º - i.sen60º

====////=====

z^10 + z^5 + 1 =

(-cos60º + i.sen60º) + (-cos60º - i.sen60º) + 1, cancela i.sen60°.

(-1/2 + -1/2) + 1 =

-2/2 + 1 =

-1 + 1 =

0

Answer 2

Resposta: Está provado que $z_{1}z_{2}=cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isen(\theta_{1}+\theta_{2})$.

Explicação passo-a-passo:

Solução do item a)

Os números complexos são dados por $z_{1}=cos(\theta_{1})+isen(\theta_{1})$ e $z_{2}=cos(\theta_{2})+isen(\theta_{2})$. Posto isto, demonstraremos o produto $z_{1}z_{2}=cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isen(\theta_{1}+\theta_{2})$. Desenvolvendo o produto, temos:

$z_{1}z_{2}=[cos(\theta_{1})+isen(\theta1)][cos(\theta_{2})+isen(\theta_{2})]$  ⇒

$z_{1}z_{2}=cos(\theta_{1})cos(\theta_{2})+icos(\theta_{1})sen(\theta_{2})+isen(\theta_{1})cos(\theta_{2})+i^{2}sen(\theta_{1})sen(\theta_{2})$  ⇒

$z_{1}z_{2}=[cos(\theta_{1})cos(\theta_{2}) - sen(\theta_{1})sen(\theta_{2})] +i[sen(\theta_{1})cos(\theta_{2})+sen(\theta_{2})cos(\theta_{1})]$  ⇒

$z_{1}z_{2}=cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isen(\theta_{1}+\theta_{2})$

Abraços!