Question

Alguém pode me ajudar nesta questão?

Answer 1

En la forma diferencial podemos identificar dos funciones P y Q que son continuas en la región 0 < x < π ; 0 < y < sin x
 
                       $P=e^x(1-\cos y)\wedge Q=e^x(y-\sin y)$

Entonces podemos aplicar el teorema de G.Green 
 
                           $\displaystyle A=\oint_{\Gamma}e^x(1-\cos y)dx+e^x(\sin y-y)dy\\ \\ \\ A=\iint_{R}\dfrac{\partial}{\partial x}[e^x(\sin y-y)]-\dfrac{\partial}{\partial y}e^x(1-\cos y)\;dx\,dy\\ \\ \\ A=\iint_{R}e^x(\sin y-y)-e^x(\sin y)\;dx\,dy\\ \\ \\ A=-\iint_{R}ye^x\;dx\,dy\\ \\ \\ A=-\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\sin x}ye^x\;dy\,dx\\ \\ \\ A=-\int_{0}^{\pi}e^x\left(\int_{0}^{\sin x}y\;dy\right)dx\\ \\ \\ A=-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}e^x\sin^2 x\;dx\\ \\ \\ \boxed{A=\dfrac{1-e^{\pi}}{5}}$