Question

Alguém pode me ajudar nesse problema?

Answer 1

a) Solo te piden que calcules: $x_1\,,\, x_2\,,\, x_3$ solo reemplaza los índices y ya lo tienes

b) Para ver si es monótona veremos a la sucesión de la siguiente manera

                            $x_n=\dfrac{1}{4+\dfrac{2}{n}}$

Luego como $n\in \mathbb N$ entonces no es difícil convencerse de lo siguiente:

Empecemos diciendo que $m\ \textless \ n$ entonces

$\Rightarrow\dfrac{1}{m}\ \textgreater \ \dfrac{1}{n}\\ \\ \\ \Rightarrow\dfrac{2}{m}\ \textgreater \ \dfrac{2}{n}\\ \\ \\ \Rightarrow4+\dfrac{2}{m}\ \textgreater \ 4+\dfrac{2}{n}\\ \\ \\ \Rightarrow\dfrac{1}{4+\dfrac{2}{m}}\ \textless \ \dfrac{1}{4+\dfrac{2}{n}}\\ \\ \\ \Rightarrow x_m\ \textless \ x_n$

Entonces la sucesión es creciente.

c) como sabemos que para $n\in \mathbb N$ se deduce

               $0\ \textless \ \dfrac{1}{n}\ \textless \ 1$

entonces

$\Rightarrow 0\ \textless \ \dfrac{2}{n} \leq \ 1\\ \\ \\ \Rightarrow 4\ \textless \ 4+\dfrac{2}{n} \leq \ 5\\ \\ \\ \Rightarrow\dfrac{1}{5}\ \textless \ \dfrac{1}{4+\dfrac{2}{n}} \leq \ \dfrac{1}{4} \Rightarrow\dfrac{1}{5}\ \textless \ x_n \leq \ \dfrac{1}{4}$

d) Como es monótona (creciente) y acotada (superiormente) entonces la serie converge, esto es


$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{4+\dfrac{2}{n}}\\ \\ \\ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\dfrac{1}{4}}$

Answer 2

A) f(x) n/ 4.n+2, então,  f(1)= 1/ 4.1+2= 1/6 , continuando ,  f(2)= 2/ 4.2+ 2= 1/5 , f(3)= 3/ 4.3+ 2= 3/4.       
 
 b) mostrar  que é monótona ainda  estou pesquisando, amigo.

c) também estou pesquisando.

d)  se o limite de x, com x tendendo ao infinito for igual a um numero L, então a sequência converge para L.  Seno limite de Xn tendendo ao  infinito for igual ao infinito ou oscilar a sequência diverge.

a resposta que eu  encontrei foi que a sequencia converge para 1/4.